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Christian (Xris)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. November, 2000 - 20:41: | 
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Hallo Leute
Wer kann mir folgende Aufgabe lösen und bitte auch leicht verständlich erklären?
Einer Kugel vom Radius R ist ein Kegel maximalen Volumens einzubeschreiben.
Vielen Dank im voraus
Christian |
test
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. November, 2000 - 23:57: |
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Hallo Xris,
stelle dir in einem zweidim. Koordinatensystem ein gleichschenkliges Dreieck mit einem Umkreis mit Radius R vor, der Umkreismittelpunkt liege im Koord.-Ursprung.
Eine Ecke des Dreiecks liege auf der y-Achse, die anderen beiden Ecken sollen die Endpunkte der Basis bilden, sie liegen symmetrisch bei x=r und x=-r.
Mit der Bedingung, dass sie auf dem Kreis liegen sollen, ergibt sich nach Pythagoras die Gleichung R² = r² + y², y sei zunächst die für beide Ecken gleich große y-Koordinate.
Nun stellst du dir vor, dass diese Figuren um die y-Achse rotieren, der Kreis wird zur Kugel mit Radius R, das Dreieck zum Kegel mit Radius r.
Die Höhe h des Kegels ergibt sich als h = y+r, der Abstand des Dreieckseckpunktes, der auf der y-Achse liegt, von der Verbindungslinie der beiden anderen, die y-achsensymmetrisch zueinander liegen.
Das Kugelvolumen kennst du als V = 4pR3/3
Das Kegelvolumen kennst du als V = pr2h/3
Das Kegelvolumen soll maximal werden.
Also suche nach dem Maximum der Funktion V = pr2h/3, wobei mit h=y+r und R² = r² + y² noch eine der beiden Variablen h oder r zu eliminieren ist.
Ich halte es für einfacher, h zu ersetzen.
Also V = pr2(y+r)/3, mit y²=R²-r² bzw y=Ö(R²-r²) wird V zu
V(r) = pr2(Ö(R²-r²)+r)/3
Die Ableitung ergibt sich zu
V'(r) = (p/3)*[ 2r*(Ö(R²-r²) + r) + r²*(-2r/(2*Ö(R²-r²)) +1) ]
Die zweite Ableitung V''(r) muss auch noch ausgerechnet werden.
V-Maximum gesucht heißt V'(r) = 0 setzen und sehen, für welche r dies zutrifft.
Multipliziere auf beiden Seiten mit 3/p,
2r*(Ö(R²-r²) + r) + r²*(-2r/(2*Ö(R²-r²)) +1) = 0
Der Fall r=0 kommt für die Lösung nicht in Betracht, da das Kegelvolumen dann Null wäre, kann also ausgeschlossen werden, daher teile durch r:
2*(Ö(R²-r²) + r) + r*(-2r/(2*Ö(R²-r²)) +1) = 0 |
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