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Reinhard Janssen
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. November, 2000 - 18:37: | 
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hallo,
wie löse ich grundsätzlich ein funktion 3. grades: zb. f(X)=0,1x^3+0,3x^2+0,5x+0,6 bezüglich ihrer nullstellen, ohne die p-q-formel anzuwenden, sondern nur mit einfachsten rechenoperationen, die auch ich versteh! :-) (p-k dürfen wir nicht verwenden).
merci
reinhard |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. November, 2000 - 21:51: |
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Hallo Reinhard,
ich weiß nicht, ob ich es ohne p-q-Formel hinkriege. Mal sehen.
Zuerst klammere ich mal 0.1 aus, das erleichtert die Übersicht.
f(x) = 0.1 * (x³ + 3x² + 5x + 6)
Ja und dann rate ich mal: x=-2 ist eine Nullstelle.
Schulaufgaben haben ja meistens einfache Lösungen, etwa 0 oder 1 oder -1 oder 2 oder -2. Da hat man eine gute Gewinnchance.
Probe: (-2)³+3*4+5*(-2)+6=-8+12-10+6=0
Wenn man aber nicht raten kann, dann muß man eben rechnen. Dann bleibt einem irgendeine Formel wohl nicht erspart. Was rät Dein Lehrer dann?
Nun klammere ich (x+2) aus f(x) aus, also Polynomdivision.
Die 0.1 lasse ich mal weg, denn die ändert an den Nullstellen ja nichts.
(x³ + 3x² + 5x + 6) = x²*(x+2)-2x² + 3x² + 5x + 6
= x²*(x+2) + x² + 5x + 6
= x²*(x+2) + x*(x+2) - 2x + 5x + 6
= x²*(x+2) + x*(x+2) + 3x + 6
= x²*(x+2) + x*(x+2) + 3*(x+2)
Also ist
(x³ + 3x² + 5x + 6) = (x+2)*(x²+x+3)
Das Polynom in der letzten Klammer hat keine Nullstellen, das sieht man mit der p-q-Formel.
Also, was hab ich nun gemacht? Eigentlich nicht das, was Du wolltest.
Ich könnte ja noch etwas über das systematische Raten sagen. Aber sag mit erst mal, ob Du das hören willst.
Gruß
Matroid |
Reinhard Janssen
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. November, 2000 - 23:07: |
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hi,
vielen dank ersteinmal, doch genau dies rechnen&raten möchte unser lehrer sehen.
du kan´nst dich ja einmal über das systematische raten auslassen, würde mich interessieren.
naja, einen lösungswert ohne p-q formel und ohne raten ist sicher etwas umständlich, werde die p-q formel mir doch einmal zur gemüte führen, ist ja in etlichen büchern beschrieben.
noch einmal merci,
cu, reinhard |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. November, 2000 - 20:29: |
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Also, wie rät man richtig?
Wie schon gesagt, Schulaufgaben haben oft kleine ganzzahlige Lösungen.
Es lohnt sich 0,1,2,3 auszuprobieren.
Wenn die Koeffizienten eines Polynoms (überwiegend) positiv sind, kommen negative Zahlen in Betracht. Wenn die Koeffizienten negativ sind, dann versuche positive Zahlen.
Sobals man eine Nullstelle hat, kann man dividieren.
Wenn Eine Nullstelle vorliegt, dann hat die Funktion da meist einen Vorzeichenwechsel. Während man also mit 0,1,2 probiert, achtet man auf unterschiedliche Vorzeichen im Ergebnis. Zwischen den beiden x-Werten mit den verschiedenen Vorzeichen liegt eine Nullstelle. Selbst wenn die Nullstelle nicht ganzzahlig ist, dann sollte man mal die Mitte zwischen den beiden x-Werten probieren.
Mit ein wenig mehr Kenntnissen kann man auch gezielt Werte probieren.
Wenn gesucht ist f(x) = x²+px+q=0, und es hat 2 Nullstellen a und b, dann ist f(x)=(x-a)*(x-b). Multipliziert man das aus, erhält man x²+(a+b)x+ab
Das Produkt der Nullstellen a und b ist also q und die Summe ist p.
Wieder unter der (bewährten) Annahme, daß Lehrer einfache Lösungen bevorzugen, sollte man die ganzzahligen Teiler von q versuchen.
Die gleiche Überlegung gilt sinngemäß auch für Polynome höheren Grades.
In Deiner obigen Aufgabe ist q=6 und die Nullstelle ist -2.
[Das ist im Grunde der Satz von Vieta: a+b=p, ab*q]
Auf diese Art gelingt es oft gleich beide oder mehr als eine Nullstelle zu raten.
Gruß
Matroid |
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