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Nina
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. November, 2000 - 17:04: | 
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Hallo,
es ist die allgemeine Parabelgleichung für die Parabel durch die Punkte P1 (-2/-25), P2 (1/11) und P3 (4/11) zu bestimmen.
Für diese Parabel sind die Schnittpunkte mit der x-Achse S1 und S2 gesucht. Dann sind die Gleichungen der Tangenten in den Punkten S1 und S2
gesucht. Daraus ist der Schnittpunkt S3 dieser beiden Tangenten gesucht und der Flächeninhalt des entstehenden Dreiecks S1, S2 und S3 zu berechnen.
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen. Also die Parabelgleichung bekomme ich ja noch so einigermassen hin, aber bei den Schnittpunkten habe ich absolut keine Peilung!
Kann mir das jemand erklären?
Danke schon mal, Nina |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. November, 2000 - 22:23: |
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Hi Nina,
Bei Deiner Aufgabe handelt es sich nicht um
die allgemeine Parabelgleichung, bei welcher auch
Parabeln mit schiefen Achsen zugelassen wären,
sondern offensichtlich um eine allgemeine Parabel
mit einer zur y-Achse parallelen Achse.
Der Ansatz für eine solche Parabel lautet:
y = a x ^ 2 + b x + c
Setzt man die Koordinaten der Parabelpunkte der Reihe
nach ein, so erhält man das folgende lineare
Gleichungssystem für a , b , c :
-25 = 4a - 2b + c
11 = a + b + c
11 = 16 a + 4b + c mit den Lösungen:
a = - 2 , b = 10 , c = 3 ; die Funktionsgleichung lautet demnach:
y = - 2 x ^2 + 10 x + 3
Die Nullstellen sind die Lösungen der quadratischen Gleichung
2 x ^ 2 - 10 x - 3 = 0 , nämlich:
x1 = ½ * [ 5 - wurzel(31) ] , x2 = ½ * [ 5 + wurzel(31) ]
Wir berechnen die Steigungen m1 und m2 an diesen Stellen aus
der Ableitung y' = - 4 x + 10 durch Einsetzen von x1 und x2 in y' :
m1 = -2 * wurzel(31) , m2 = 2 * wurzeö( 31)
Daraus erhält man die Gleichungen der Tangenten:
t1: y = m1 * ( x - x1) =...
t2 : y = m2 * ( x -x2 ) =..... (Werte selber einsetzen !)
Ermittlung des Schnittpunktes S der beiden Tangenten
(setze die y-Werte einander gleich ! ) ;es kommt:
xS= 5/2 yS = 31 (es gibt rationale Zahlen; bravo!)
Um den Flächeninhalt A des gleichschenkligen Dreiecks S S1 S2
zu berechnen, ermitteln wir die Grundlinie g = x2 - x1 = wurzel(31)
Als Höhe h taugt yS ; somit A = ½ g*h = ½ * 31 * wurzel(31).
Wir sind am Ende der Aufgabe angelangt.
Für Kenner der Materie am Schluss noch dies:
Wir stellen die Polarform der Parabelgleichung auf
und weisen nach,dass die x-Achse die Polare des
Punktes S als Pol ist.
Polarisation der Parabelgleichung
mit P1 (x1 / y1) als Pol :
½ * ( y + y1) = - 2 x1 * x + 5 * ( x + x1 ) + 3 ;
setzt man darin x1 = 5/2, y1 = 31, so erhält man die
Geradengleichung y = 0 , also die x-Achse
alles ist in bester Ordnung !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
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