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Yogi (Bär)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. November, 2000 - 16:20: | 
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Hallo könnte mir jemand bei folgender Aufbabe helfen.
Welche Abmessungen müßten zylindrische Dosen mit gegeben Volumen haben, damit zur ihrer Herstellung möglichst wenig Blech verbraucht wird.
Schon mal im vorraus DANKE. |
Malte (Binomi)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. November, 2000 - 18:45: |
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Hehehe Abgabe am 30 Dezember die Landesregierung freuht sich......!
Nee aber mal im Ernst da sitze ich auch dranne, hab schon einen Ansatz....!
Hast Du ICQ ?!? Sonst meld Dich mal per E-möil
haneltmalte@hotmail.com |
MBoese
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. November, 2000 - 18:51: |
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Du hast gegeben:
-Fläche Dose: 2*Pi*R²+2*Pi*R*h
(Mantelfläche + Grundfläche, ich gehe von 1 Boden aus! Sonst halt 2*Pi*R²)
- V(dose)=Pi*R²*h (grundfläche mal Höhe)
Nun formst du das Volumen der Dose so um, dass du eine variable der Flächenformel, durch gegebene Größen "substituieren(ersetzen)" kannst.
ich wähle, der Einfachheit halber mal h
h=V/(Pi*R²)
Nun setze ich das anstelle von h in die Flächengleichung ein:
F=2*Pi*R*(V/(Pi*R²))+Pi*R²
Dann kürzt man das 1 "R" vorne weg, und ein PI
F=((Pi*V)/r)+Pi*R²
Davon dann die 1. Ableitung(ist jetzt ja eine Extremwertberechnung)
Dann bekommt man:
F'=2*Pi*R-(Pi*V/R²)
!!!!Hier beim Ableiten bitte die Quotientenregel für den ersten Teil beachten!!!!!
Dann hierfür die Nullstelle ausrechnen: Also denn Zähler=0
2*Pi*R³-Pi*V= 0 (hierbei erst alles auf einen bruch bringen)
Dann bekommst du:
2*r³=v
r³=v/2
r= 3.Wurzel aus (v/2)
Nun machen wir die 2. Ableitung(um zu verifizieren, dass es sich hier um ein Minimum handelt)
Das bestätigt sich, da der Funktionswert hierzu >0 ist:
Damit wäre die Lösung:
r=3 Wurzel aus v/2
h=V/(Pi*(3 Wurzel aus v/2))
Eine überprüfung des Ergebnisses bestätigt die Anforderung
Nochmal zusammengefasst:
1. Gleichungen aufstellen, für Bekannte/unbekannte Dinge
2. In der Gleichung mit zu errechnendem Wert, eine Variable durch Einsetzung der Umgestellten Gleichung der Bekannten Größe substituieren
3. Nullstelle der 1. Ableitung hiervorn
4. Verifizierung eines Minimums bei diesem Punkt
Hoffe, geholfen zu haben! Matthias |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. November, 2000 - 19:42: |
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Auf die Gefahr hin, daß Du es nicht brauchst.
http://www.zahlreich.de/cgi-bin/hausaufgaben/show.cgi?25/6436
Ich habe nämlich die Nebenbedingung anders verstanden. Die Fläche des Bleches ist zu minimieren. Zum Ausstanzen eines Kreises wird ein rechteckiges Stück Blech benötigt. D.h. es gibt Abfall, der zu berücksichtigen ist.
Gruß
Matroid |
Malte (Binomi)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. November, 2000 - 21:44: |
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Hmmm auch gut aber ich verstehe die Aufgabe doch anders als Du @Matroid. Es wird nach einem Minimum der Oberfläche und der Kosten gesucht...?!?
Die Frage ist jetzt für mich was wichtiger ist oder ob man gegebenenfalls beides miteinander Verbinden sollte (Naja währe wahrscheinlich besser)
Hmmm
Ich poste einfach mal die Aufgabe:
Es sollen zylinderförmige Dosen hergestellt werden (Family+Single).
Unabhängig vom Volumen sollen die Oberfläche und die Kosten minimiert werden.
Welche Eigenschaft hinsichtlich Höhe und Radius muss erfüllt werden ?
So mein Lösungsansatz sah wie folgt aus:
h als Konstante (wie bei MBoese), 1. Ableitung bilden und nach einem Minimum, sprich Tiefpunkt gucken.
Es ist, glaub ich, f(x) mit zwei konstanten zubilden => f(r,h) ?????
Naja es ist ja noch ein bissel Zeit......
Also ich bin interessiert an euren Meinungen mfg Binomi |
Birk
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. November, 2000 - 22:15: |
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Hallo Ihr alle!
Ich komme aber auf r³=V/2*PI weil:
F=2*PI*r²+2*PI*r*h mit h=V/(PI*r²)
F=2*PI*r²+2*PI*r*V/(PI*r²)
F=2*PI*r²+2*V/r
F'=4*PI*r-2*V/r²
F"=4*PI+4*V/r³
1.Abl.Null setzen:
0=4*PI*r-2*V/r² |/2
0=2*PI*r-V/r² |+V/r²
V/r²=2*PI*r |*r²
V=2*PI*r³ |/2*PI
r³=V/2*PI
r=3.Wurzel(V/2*PI)
------------------
in 2.Abl. einsetzen ist positiv > Minimum
h=V/(PI*(3.Wu(V/2*PI)²) |unter Wurzel quadriert
h=V/(PI*(3.Wu(V²/4*PI²)) |auf den Bruchstrich
h=V/PI * 3.Wu(4*PI²/V²) |mit 2*PI*V erweitern
h=V/PI * 3.Wu(8*PI³*V/2*PI*V³)
h=V/PI * 2*PI/V * 3.Wu(V/2*PI)
__________________3.Wu(V/2*PI) ist laut oben = r
h= 2*r
-------
Viele Grüße, Birk! |
Birk
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. November, 2000 - 22:21: |
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Ich hab' aber jetzt mit Boden und Deckel gerechnet! |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. November, 2000 - 22:35: |
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Ich finde auch, daß eine Dose einen Deckel hat. |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. November, 2000 - 22:38: |
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Ich finde auch, daß eine Dose einen Deckel hat. |
Yogi (Bär)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. November, 2000 - 22:39: |
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Erstmal Danke MBoese. Hab das Prinzip soweit verstanden. Ich geh allerdings von 2 Böden aus und komm dann auf:
r= 3.Wurzel aus (2*V/4 PI)
Wenn das falsch sein sollte sag bitte mal bescheid
.
Danke auch an Matroid.
Binomi ich muß das nicht abgeben das ist nur Vorbereitung zur meiner Mathe-Klausur am Donnerstag. |
Malte (Binomi)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. November, 2000 - 23:03: |
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Upssalla...Echt nicht ???
Die KnobelSite für Matheaufageben der Landesregierung hat genau die gleiche Aufgabe gestellt !?!
Komisch, komisch naja ich wünsch Dir auf jeden Fall viel Glück bei Deiner Klausur und bedank mich bei allen. Ich bin auf einem Interessanten Lösungsweg....Ich werd euch berichten was daraus geworden ist Tschööö + N8 |
Birk
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. November, 2000 - 23:30: |
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Hi Yogi!
Na sag ich doch.
Dein Ergebnis:
r= 3.Wurzel aus (2*V/4 PI) |2 und 4 gekürzt:
r= 3.Wurzel aus (V/2 PI)
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