| Autor |
Beitrag |
    
Julian Harnath (Julianh)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. November, 2000 - 16:09: | 
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Hallo!
Ich habe gleich 2 Probleme, je eins mit einer Aufgabe...
Also:
1. Aufgabe:
Es ist ein Dreieck mit ABC gegeben.
A(0|0) B(6|0) c(0|8)
Bestimmen sie die Gleichungen der Seitenhalbierenden ga gb gc,
prüfen sie ob allen Geraden sich in einem Punkt schneiden und bestimmen sie diesen gegebenfalls (algebraisch).
Problem 1: Wie bestimme ich die Gleichungen der Höhen??
Problem 2: Wie bestimme ich den Schnittpunkt von 3 Geraden? Bei 2 Geraden einfach die beiden Funktionsgleichungen gleichsetzen.... aber bei 3??
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2. Aufgabe:
Welcher Kreis K1 geht durch die Punkt P1(1|3) und P2(1|-3) und berührt den Kreis K2: (x-5)^2+(y+3)^2=4 ?
Mein (unvollständiger) Ansatz:
K1: (x-xm)^2+(3-ym)^2=r^2
P1 liegt auf K1:
(1-xm)^2+(3-ym)^2=r^2
P2 liegt auf K2:
(1-xm)^2+(-3-ym)^2=r^2
Der Berührpunkt erfüllt beide Kreisgleichungen:
B(bx/by)
B element K1: (bx-xm)^2+(by-ym)^2=r^2
B element K2: (bx-5)^2+(by+3)^2=4
Daraus kann ich jetzt sicher irgendwie ein Gleichungssystem aufstellen - ich weiss aber nicht genau, wo ich anfangen soll :-(
Julian |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. November, 2000 - 12:07: |
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Hi Julian
Zu Deiner ersten Aufgabe
(Achtung : Dreieckshöhen sind nicht verlangt!)
Die Gleichungen der drei Seitenhalbierenden
oder Schwerlinien lauten:
ga: y = 4/3 x
gb: y = - 2/3 x + 4
gc: y = - 8/3x + 8
Das zu finden, ist easy !
Nun schneidest Du ga mit gb , und Du bekommst den
Schnittpunkt S(2 ; 8/3),
Jetzt zeigst Du, dass auch sc durch diesen Punkt geht
durch Einsetzen der Koordinaten von S in die
Gleichung von sc .
S ist übrigens der Schwerpunkt des Dreiecks .
Man findet seine Koordinaten auch, indem man der Reihe
nach die Koordinaten der drei Ecken mittelt.
Zweite Aufgabe
Zwei Begriffe voraus:
1) Zwei Kreise heissen konzentrisch, wenn
sie den gleichen Mittelpunkt haben.-
2) Eine Gerade heisst Mittelsenkrechte der Strecke P1 P2 ,
wenn sie durch den Mittelpunkt dieser Strecke geht und auf
ihr senkrecht steht-
Da der gesuchte Kreis c durch die Punkte P1 und P2 geht,
liegt sein Mittelpunkt M auf der Mittelsenkrechten der Strecke
P1P2; netterweise ist das gerade die x-Achse,
Die y- Koordinate v von M ist null; wir brauchen nur die
x- Koordinate u und den Radius r von c zu bestimmen
Ein Ansatz für die Gleichung von c lautet demnach:
( x - u) ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2...........................................................(1)
Da der Kreis c den gegebenen Kreis K2 mit Mittelpunkt
M2 ( 5 / - 3 ) und Radius r2 = 2 berühren muss,
geht der zu c konzentrische Kreis c* , dessen Radius um r2 = 2
grösser ist , also r + 2 misst , durch den Mittelpunkt M2.
Die Gleichung dieses Kreises c* lautet :
( x - u ) ^ 2 + y ^ 2 = (r + 2 ) ^2 ...................................................(2)
Jetzt setzen wir die Koordinaten der Punkte in die
Kreisgleichungen ein:
P1 ( 1 / 3 ) in die Gleichung (1) des Kreises c
(1 - u) ^ 2 + 9 = r ^ 2 , vereinfacht:
10 - 2u + u^2 = r^2........................................................................(3)
M2 ( 5 / -3 ) in die Gleichung (2) des Kreises c*
(5-u)^2+ 9 = (r + 2) ^ 2 , vereinfacht
30 - 10 u + u^2 = r^2 + 4r.............................................................(4)
Gesucht werden u und r.
Durch Subtraktion der Gleichungen (3) und (4)
werden u^2 und r^2 eliminiert;
Es bleibt r = 5 - 2u.
Setzen eir dies in Gleichung (3) ein ,so erhalten wir eine
quadratische Gleichung für u:
u ^ 2 - 6 u + 5 = 0 mit den Lösungen u1 = 1 und u2 = 5
Die zugehörigen Radien sind r1 = 3 und r2 = 5
Man bestätige das Resultat mit einer grafischen Darstellung
Die Gleichungen der gesuchten Kreise lauten:
(x-1)^2 + y^2 = 9 (Berührung von aussen)
(x-5)^2 + y^2 = 25; dieser Kreis umschliesst den gegebenen.
Mit freundlichen Grüssen.
H.R.Moser,megamath. |
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