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fred
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. November, 2000 - 17:31: | 
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Ich brauche unbedingt jetzt sofort, also noch am Sonntag den Beweis der Potenzregel für ganzzalige negative Exponenten anhand der Quotientenregel, Kettenregel o.ä. Ableitungsregeln. Wenn möglich, schön ausführlich, damit ich das auch verstehe ;-))
z.B. f(x)=x^-n
f'(x)=-n*^x^-n-1
und dass das im allgemeinen Funktioniert muss bewiesen werden, DANKE!!! |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. November, 2000 - 18:42: |
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Hi Fred,
die Funktion f(x)=x-n=1/n kann man auch schreiben als f(x)=g(x)/h(x) mit g(x)=1 und h(x)=xn.
Die Quotientenregel sagt f'(x)=[g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x)]/(h(x))2
Wenn schon als bekannt benutzt werden darf, daß h'(x)=n*xn-1, dann erhält man:
f'(x) = [0*h(x)-1*n*xn-1]/x2n = -n*xn-1/x2n = -n/xn+1 = -n*x-n-1
Wenn Du die h'(x)=n*xn-1 auch noch beweisen sollst, dann mach das mit Induktion unter Verwendung der Produktregel.
Gruß
Matroid |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. November, 2000 - 18:43: |
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In der ersten Zeile muß es heißen:
f(x)=x-n=1/xn |
fred
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. November, 2000 - 19:06: |
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Matroid, wie kommst du auf die vierte Zeile??
Ich verstehe nicht, wie du mit der Quotientenregel darauf kommst...Kannst du das noch mal erklären? also ich meine die letzte Zeile deines Beweises....DANKE!!
Fred |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. November, 2000 - 20:57: |
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Na ja, ich drücke die Funktion f(x) eben als Quotient der Funktionen g(x)/h(x) aus.
Die Regel für die Ableitung von Quotienten ist schon bekannt, und ich benutzt sie.
Der Sinn dieses Ansatzes, ist doch gerade, die negativen Exponenten in positive Exponenten von Funktionen im Nenner eines Quotienten zu verwandeln.
Und dann setze ich für g, g', h und h' die jeweiligen Ableitungen ein. Für g(x)=1 ist g'(x)=0. Für h(x)=xn ist h'(x)=n*xn-1.
Kennst Du doch, oder?
Und dann kommt etwas Termumformung. Was ist xn-1/x2n? Eben 1/xn+1, denn 2n-(n-1) ist n+1. Potenzrechenregeln!
Und auch wegen der Potenzrechenregeln ist (xn)² = (x2n)
Wird's heller? |
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