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Axel (Nash)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. November, 2000 - 13:31: | 
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Die Funktion
f(x)=-a*x^2+b
Schließt im ersten Quadranten ein Rechteck mit der x und y Achse ein
Für welches x (Das auf der x-Achse) wird der Flächeninhalt maximal?
Berechne Amax.
Ns:
Px1(wurze(b:a)/0)
Px2(-wurzel(b:a)/0) |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. November, 2000 - 15:42: |
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Hallo Axel,
ich nehme mal an, Du hast Dir schon mal eine Skizze gemacht. Da ist also ein Rechteck gesucht, dessen linke untere Ecke im Nullpunkt des Koordinatensystems liegt und dessen rechte obere Ecke auf dem Graphen der gegebenen Funktion liegt.
Die rechte obere Ecke soll so gewählt werden, daß die Fläche des Rechtecks maximal wird.
Diese Ecke hat die Koordinaten (x/y) mit y=-ax²+b
Wegen der Nullstellen der Funktion ist gesucht ein x e [0,w(b/a)].
Die Fläche in Abhängigkeit von x ist
F(x) = x * y = x * (-ax²+b) = -ax³+bx
Diese Funktion der Fläche ist zu differenzieren.
F'(x) = -3ax² + b
Hat die positive Nullstelle:
x = w(b/(3a)) [die negative Nullstelle liegt nicht im ersten Quadraten].
Dieses x ist im zu betrachtenden Intervall (das ist gut).
Es ist
F''(x) = -6ax
Daher ist F''(w(b/(3a))) negativ, also ist bei x = w(b/(3a)) ein lokales Maximum.
An den Rändern des Intervalls, in dem x nur gesucht wird, sind die Flächenwerte 0, also ist x=w(b/(3a)) in [0,w(b/a)] sogar ein absolutes Maximum.
Gruß
Matroid |
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