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Beitrag |
    
Nuefz
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 12:03: | 
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Ich suche nach einem Beweis für die Formel:
sin(3/10p)=(sqrt(5)+1)/4
Ich glaube, dass der Beweis vielleicht ganz einfach sein könnte, nur draufgekommen bin ich bis jetzt noch nicht.
Ich habe es unter Anbetracht der Tatsache, dass 3/10p=54° den halben Randwinkel eines Fünfecks darstellt, zunächst auf diese Weise geometrisch versucht, bin aber bald auf eine kubische Gleichung gestoßen, deren Kubikwurzeln sich wiederum nur trigonometrisch ausdrücken lassen - klarer Reinfall.
Möglicherweise lässt sich aus dem Ansatz mit dem Fünfeck nicht viel gewinnen, vielleicht bin ich dabei aber auch nur zu kompliziert vorgegangen ... jedenfalls wäre ich für Lösungsvorschläge aller Art (vielleicht auch mittels der komplexen Zahlen) dankbar.
mfg. Nuefz |
Niels (niels2)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 73
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 15:33: |
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Hi Nuefz,
der Gedanke von dir geht in die richtige Richtung du solltest aber eher das regelmäßige 10-Eck ins Auge fassen!
Am regelmäßigen 10-Eck lässt sich leicht zeigen, dass gilt:
sin18°=(sqrt(5)-1)/4
und über die Beziehung:
sin54°=3*sin18°-4*sin³18°
liese sich deine Beziehung im nu algebraisch nachweisen!
Gruß N.
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Nuefz
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 19:07: |
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Hallo Niels,
Danke für deinen Hinweis, ich habe anfangs gar nicht daran gedacht, dass sich n-Ecke mit noch größerer Eckenanzahl als 5 sogar besser für den Beweis eignen würden.
Wie man von sin18° auf sin54° ist mir klar, nur irgendwie finde ich nicht den zielführenden Ansatz im 10-Eck...aber vielleicht komme ich ja noch später drauf.
Grüße, Nuefz |
Niels (niels2)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 74
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 21:04: |
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Hi Nuefz,
zuerst muss man zeigen, dass für die Seitenlänge im regelmäßigen 10-Eck gilt:
s=r/2*(sqrt(5)-1)
wobei r natürlich der Umkreisradius des reg. 10 Ecks ist.
Tipp:
Der Radius r wird im "goldenen Schnitt" geteilt.
Wenn du dies nachweist ist die halbe Miete gewonnen.
Der Rest mit dem Sin18° ist dann nur noch Formsache!
Gruß N. |
Nuefz
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 21:12: |
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Hallo Niels,
Jetzt habe ich es auch herausgefunden - dank deines Tipps mit dem "goldenen Schnitt". Also
Danke nochmals für deine Hilfe,
Grüße, Nuefz |
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