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Schwere Aufgaben!

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klasse 11 » Folgen und Reihen » Schwere Aufgaben! « Zurück Vor »

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Hatice
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Juli, 2002 - 18:54:   Beitrag drucken

Hallo,
die folgenden Aufgaben habe ich aufgeschrieben, weil ich nicht wußte, wie man verschiedene Zeichen mit der TAstatur macht. Es wäre sehr nett, wenn jemand die Lösungen hätte. Ich brauche sie wirklich dringend.
Schon mal vielen Dank
Hatice
Die 1. Aufgabe heißt:
Untersuche die Folge auf Konvergenz
an=sin n pi/2 mit n Element N
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Walter H. (mainziman)
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Neues Mitglied
Benutzername: mainziman

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Juli, 2002 - 19:03:   Beitrag drucken

Hi,

Aufgabe 1:

<an> = <sin(n*pi/2)>
<a1> = 1
<a2> = 0
<a3> = -1
<a4> = 0
<a5> = 1

=> divergent, aber beschränkt

Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*
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M.
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Juli, 2002 - 22:35:   Beitrag drucken

Hallo Hatice,
in jeder Gruppe (G,*)gilt:
1.) a*(b*c)=(a*b)*c
2.) Es existiert ein neutrales Element e, so dass gilt:
e*a=a (für alle a aus (G,*)
3.) Es existiert zu a das Inverse a^(-1) mit:
a^(-1)*a=e für alle a aus (G,*).

1.) zu zeigen (in der Gruppe (G,*)):
aus a*b=c*b => a=c

Vorarbeit:
Wir zeigen:
Gilt in einer Gruppe a*b=e, so gilt auch b*a=e.
Beweis:
Es gelte
(*i) a*b=e
Nach 2.) gilt:
e*a=a
=> (mit (*i))
(a*b)*a=a
Mit 1.) =>
a*(b*a)=a
Multipliziere a^(-1) auf beiden Seiten links heran:
a^(-1)*[a*(b*a)]=a^(-1)*a
Mit 3.)=>
a^(-1)*[a*(b*a)]=e
Mit 1.) =>
[a^(-1)*a]*(b*a)=e
Mit 3.) =>
e*(b*a)=e
Mit 2.) =>
b*a=e

Nun kommen wir zum Beweis:
Es gelte a*b=c*b

(Bemerkung:
In einer Gruppe gilt:
a^(-1)*a=e
Mit unserer Vorarbeit =>
a*(a^(-1))=e (V)
)

Es gilt:
a*b=c*b
Multipliziere b^(-1) auf beiden Seiten rechts heran:
=>
(a*b)*(b^(-1))=(c*b)*(b^(-1))
Nach 1.) =>
a*(b*b^(-1))=c*(b*b^(-1))
Mit der Vorarbeit (V) =>
a*e=c*e
Mit 3.) =>
a*(a^(-1)*a)=c*(c^(-1)*c)
Mit 1.) =>
(a*a^(-1))*a=(c*c^(-1))*c
Mit der Vorarbeit (V) =>
e*a=e*c
Mit 2.) =>
a=c

q.e.d

2e Kürzungsregel:
Es gelte:
c*a=c*b
Multipliziere c^(-1) auf beiden Seiten links heran:
=>
c^(-1)*(c*a)=c^(-1)*(c*b)
Mit 1.) =>
[c^(-1)*c)]*a=[c^(-1)*c]*b
Mit 3.) =>
e*a=e*b
Mit 2.) =>
a=e

q.e.d.

Mit freundlichen Grüßen
M.
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M.
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Juli, 2002 - 22:40:   Beitrag drucken

Bemerkung:
Das "1.)=>" (beziehungsweise das 1.) bei den Folgerungen) bezieht sich immer auf das erste Gruppenaxiom.

Mit freundlichen Grüßen
M.
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Hatice
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 10:53:   Beitrag drucken

Vielen Dank! Könnt Ihr auch noch den Rest lösen???
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M.
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 11:46:   Beitrag drucken

Hallo Hatice,
Summe (v=1 bis oo) [1/(3v-2)*(3v+1)]
= 1/(1*4) + 1/(4*7) + 1/ (7*10) + ...

Erinnert dich das an etwas?
{Erinnerung:
Summe (k=1 bis oo) := 1/k*(k+1)
Dort macht man folgendes:
1/k*(k+1)=1/(k)-1/(k+1)
Dann:
Aufspaltung der Summen + Indexverschiebung....
}

Schauen wir uns den obigen Ausdruck nochmal an:
Behauptung:
[1/(3v-2)*(3v+1)]=[1/(3*(3v-2))]-[1/(3*(3v+1))]
Beweis:
[1/(3*(3v-2))]-[1/(3*(3v+1))]
=[(3v+1)-(3v-2)]/(3*(3v+1)*(3v-2))
=1/(3v+1)*(3v-2)

Nun gilt also:
Summe (v=1 bis oo) [1/(3v-2)*(3v+1)]
=Summe (v=1 bis oo)[1/(3*(3v-2))]-
Summe (v=1 bis oo) [1/(3*(3v+1))]
=Summe (v=1 bis oo)[1/(3*(3v-2))]
-Summe (v=2 bis oo)[1/(3*(3v-2))]
=1/(3*1)=1/3
=>
Summe (v=1 bis oo) [1/(3v-2)*(3v+1)]=1/3

Zu deiner Nachfrage:
...Könnt Ihr auch noch den Rest lösen???
----------------------------------------
Ich suche mir schon immer Aufgaben heraus, die mich interessieren und die ich auf Anhieb kann. Außerdem sind es ja Übungsaufgaben für dich und nicht für mich, du mußt dich schon selber etwas mit den Aufgaben auseinandersetzen.
Ich werde bestimmt nicht dein komplettes Übungsblatt lösen.
Außerdem weiß ich nicht, wie lange ich dafür brauchen würde...
Bitte hab Verständnis dafür.

Mit freundlichen Grüßen
M.
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M.
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 11:53:   Beitrag drucken

PS:
Nur mal so eine Frage:
Seit wann macht man solche Aufgaben in der 11en Klasse?
Ich kann mich nicht erinnern, dass ich in der 11 etwas von Gruppen gehört hätte!

Grüße
M.
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Hatice
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 17:02:   Beitrag drucken

Ja, macht man aber leider! Und ich habe mich schon sehr lange damit auseinander gesetzt. Und diese Aufgaben brauche ich sehr, sehr dringend, aber ich kann sie nicht lösen.Und meine NAchhilfe ist in Urlaub... .
Also, es wäre nett, wenn mir jemand hilft!
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M.
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 18:58:   Beitrag drucken

Hallo Hatice,
etwas geholfen habe ich dir ja nun, oder?
;-)
Würde dir sehr gerne weiterhelfen, aber ich bin momentan im Stress, da ich nächste Woche 3 Klausuren schreibe.
:-(
Das ist für mich momentan vorrangig...
Wirklich merkwürdig, daß ihr solche Aufgaben in der 11 bearbeiten sollt...

Grüße
M.
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Hatice
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 13. Juli, 2002 - 18:05:   Beitrag drucken

Ich brauche dringend noch die restlichen Lösungen. Es ist sehr wichtig für mich!
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Tyll (tyll)
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Neues Mitglied
Benutzername: tyll

Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 10-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Juli, 2002 - 15:57:   Beitrag drucken

Hi.
du bist ja echt hartnäckig. ;-)
Zur Aufgabe mit dem Rechteck (kann man prima mit einem klassischen Brifumschlag veranschaulichen).

° |D0|D1|U1|D2
D0|D0|D1|U1|U2
D1|D1|D0|U2|U1
U1|U1|U2|D0|D1
U2|U2|U1|D1|D0

eine kommutative Gruppe (B,°) muß folgende Eigenschaften besitzen: F.a. a,b aus B gilt
1. Es gibt ein Element e mit a°a'=e=a'°a
2. a°b = b°a
3.(a°b)°c = a°(b°c)


1. aus der Tabelle ergibt sich schnell, daß die inversen elemente, die elemente selber und das neutrale element D0 ist, also: a°a = e = D0 = a°a für alle a aus B.
2. Für a=b gilt: a°b=a°a=e
Für a oder b = e gilt: a°b=e°a=a=a°e=a°b
Für a und b ungleich und nicht gleich e gilt: (!) a°b=c mit c aus B ohne {a,b,e}. Demzufolge ist auch b°a=c, also a°b=b°a.
3. Sei a,b oder c = e. Ohne beschränkung der Allgemeinheit sei b=e. Dann gilt wegen der Kommutativität: (a°b)°c = a°c = a°e°c = a°(b°c)
Sei a=b, dann gilt: (a°b)°c = e°c = c = a°(a°c) = (a°b)°c
Sei a=c. Dann gilt (a°b)°c = x°c [mit x aus B ohne {c,b,e}]= b = a°x = a°(b°c)
Seien a,b,c pw. verschieden. Dann gilt mit (!) (a°b)°c = c°c = e = a°(b°c)

Was aber ist C? Den Teil kann man nicht lösen.

Gruß
Tyll
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Hatice
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 20. Juli, 2002 - 19:32:   Beitrag drucken

Hallo,
vielen,vielen dank für Eure Hilfe. es wäre jedoch nett, wenn jemand Aufgabe 3 lössen könnte. Diesen Mist mit der Verknüpfungstafel und der Gruppenbegründung kriege ich einfach nciht hin.
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Tyll (tyll)
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Mitglied
Benutzername: tyll

Nummer des Beitrags: 18
Registriert: 10-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Juli, 2002 - 13:01:   Beitrag drucken

Also:
Sei C:={c1,c2} und seien a,b aus C.
Verknüpfungsrtafeln lesen sich immer folgndermaßen: Zeile*Spalte=Feld
Danmit bedeutet die Aussage xa=b, daß alle Felder einer Spalte denselben, aber beliebig aus C stammenden Eintrag haben. Andererseits heißt ax=b nicht zu erfüllen, daß die Einträge einer Zeile nicht denslben Eintrag haben.
dann ergeben sich 2 Möglichkeiten
*c1c2
c1c1c2
c2c1c2

bzw.
*c1c2
c1c2c1
c2c2c1

Das Problem ist dann das neutrale el.
O.B.d.A. betrachten wir die erste Tabelle und es sei c2 das neutrale El. Dann muß gelten: c2x=x=xc2 für alle x aus C. Aber eben das ist aufgrund der Vor. nicht gegeben, bzw. in unserem spez. Fall ist zwar c2c1=c1 aber eben nicht c1c2=c1.

Gruß
Tyll

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