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markus
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. November, 2000 - 15:21: | 
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ein acker liegt an einer geradlinigen strasse. ein fussgänger befindet sich auf dem acker im punkt A und möchte möglichst schnell zu einem punkt B auf der strasse kommen. der fusspunkt C des lotes von A auf der strasse hat von A die entfernung 400m und von B 1000m. auf der strasse kann sich der fussgänger doppelt so schnell bewegen wie auf dem acker.
welchen weg soll er einschlagen?
kann mir hier bitte mal jemand behilflich sein? |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. November, 2000 - 18:52: |
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Hi Markus,
der Weg des Fußgängers von A nach B besteht aus 2 Teilen. Einem geraden Weg von A zu einem Punkt X auf der Straße. Dabei hat X die Entfernung x von C mit 0<=x<=100. Und als zweitem Teilstück den Weg von X nach B.
Der Weg von A nach X führt über den Acker. Der Weg von X nach B über die Straße.
Die Länge des Weges von A nach X ist y = w(4002+x2). Die Länge des Weges von X nach B ist 100-x.
Da A auf dem Acker nur halb so schnell vorwärtskommt, wie auf der Straße, ist folgende Funktion zu minimieren:
f(x) = 2*y+(100-x) [die 2 drückt aus, daß zurückzulegende Meter auf dem Acker doppelt zählen.]
Mit der Nebenbedingung y = w(4002+x2)
ergibt sich:
f(x) = 2*w(4002+x2) + (100 - x) = min!
Die Ableitung hat für 0<=x<=100 keine Nullstelle.
Also gibt es kein lokales Minimum. Die Funktion ist im ganzen Intervall [0,100] streng monoton. Der Minimalwert liegt also entweder bei x=0 oder bei x=100.
Für x=0 erhalte ich f(x) = 2*400+100 = 900
und für x=100 ist f(x) = 2*412+100 = 824.
Der zeitlich kürzeste Weg des Fußgängers von A nach B führt also auf gerader Linie direkt über den Acker.
Gruß
Matroid |
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