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Beitrag |
    
Ferhat Tutak (Istnichtschwer)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. November, 2000 - 11:46: | 
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Hi Mathefüchse,
kann jemand diese Aufgaben lösen oder Ansätze geben.
Könnt Ihr Bücher empfehlen wo solche Aufgaben schritt für Schritt erklärt sind ?
Sitze schon einige Tage an diesen Aufgaben und knobele rum ! Habe leider keine Lösungen ???!
Lösen Sie die DGL`s:
1)y''''=x
2)y'=x^2*y^1/2
3)y'*sinx=y*cosx
4)y'-y=1
5)y''+5y'+6y=0
6)y''-4y=3x
7)y''''+8y''+16y=0
Resonanz:
8)y''+6y'+5y=3e^-x
9)y''+y=sin2x
10)y''-15y'+56,5y=4e^3x
11)y''-4y'+4y=2cos3x
12)y''-6y'+9y=sinx+e^x
Bin euch zu tiefste dankbar !!!
Gruss
Ferhat |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. November, 2000 - 22:45: |
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Hallo Ferhat,
1) Aufgabe:
y""=x
y"'=ò x*dx=x²/2+A
y"= x³/6+Ax+B
y'= x4/24+Ax²/2+Bx+C
y= x5/120+Ax³/6+Bx²/2+Cx+D
================================ |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. November, 2000 - 09:58: |
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Hallo Ferhat,
Aufgabe 8)
y"+6y'+5y=3e-x
Homogene Gleichung:
y"+6y'+5y=0
Charakteristische Gleichung:
r²+6r+5=0
ergibt
r=-1 und r=-5
allgemeine Lösung der homog. Gleichung:
yh = A*e-x + B*e-5x
===========================
Inhomogene Gleichung:
Ansatz: y=A*x*e-x
(der Ansatz y=Ae-x geht nicht weil e-x schon als Faktor in der homogenen Lösung vorhanden ist)
y'=Ae-x -Axe-x
y"=Axe-x-2Ae-x
eingesetzt in Originalgleichung:
Axe-x-2Ae-x+6Ae-x-6Axe-x+5Axe-x = 3e-x
Ax-2A+6A-6Ax+5Ax = 3
Koeffizientenvergleich:
A=3/4
und eine partikaläre Lösung der inhomogenen Gleichung ist:
yp=(3/4)*x*e-x
=====================
y=yh+yp
y = Ae-x+Be-5x+(3/4)xe-x
=========================================== |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. November, 2000 - 11:22: |
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Hi Ferhat,
Ich fange hinten an; Aufgabe 12
Die charakteristische Gleichung
k^2 -6k + 9 = 0 hat die Doppellösung
k1 = k2 = 3
Die allgemeine Lösung der homogenen Dgl.
lautet somit
y = e ^ (3x) * [c1*x + c2] ; c1,c2 sind Integrationskonst........(I)
Für eine Lösung der inhomogenen Gleichung taugt
der Ansatz:
y = A* e ^ x + B * sin x + C * cos x
Daraus:
y ' = A e ^ x + B cos x - C sinx
y '' = A e ^ x - B sin x - C cos x
Einsetzen in die gegeben DGl. , ordnen und die Koeffizienten
bei e^x, sin x , cosx links und rechts vom Gleichheitszeichen
je gleichsetzen (Koeffizientenvergleich) gibt drei
Gleichungen fürA,B,C:
A - 6A + 9A = 1 , ( daraus A = ¼ )
- B + 6C + 9B = 1
- C - 6B + 9C = 0
Daraus B = 2/25, C = 3/50
Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung lautet somit
y = ¼ * e ^ x + 2/25 * sin x + 3/50 * cos x
Addiert man dies zur allgemeinen Lösung der homogenen
Gleichung in (I) , so entsteht die allg. Lösung
Deiner Gleichung Nr12.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. November, 2000 - 12:02: |
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Hi Ferhat,
Nun Aufgabe 11
Die charakteristische Gleichung
k^2 -4k + 4 = 0 hat die Doppellösung
k1 = k2 = 2
Die allgemeine Lösung der homogenen Dgl.
lautet somit
y = e ^ (2x) * [c1*x + c2] ; c1,c2 sind Integrationskonst........(I)
Für eine Lösung der inhomogenen Gleichung taugt
der Ansatz:
y = a * cos 3x + b * sin 3x
Daraus:
y ' = - 3 a sin 3x + 3 b cos 3x
y '' = - 9 a cos 3x - 9 b sin 3x
Einsetzen in die gegeben DGl. , ordnen und die Koeffizienten
bei sin x und cosx links und rechts vom Gleichheitszeichen
je gleichsetzen (Koeffizientenvergleich) gibt zwei
Gleichungen für a und b:
- 9 a - 12 b + 4a = 2
- 9 b + 12 a + 4b = 0
Daraus a = - 10 / 169 , b = -24 / 169
Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung lautet somit
y = - 10 / 169 * cos(3x) - 24/169 * sin (3x)
Addiert man dies zur allgemeinen Lösung der homogenen
Gleichung in (I) , so entsteht die allg. Lösung
Deiner Gleichung Nr 11.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. November, 2000 - 12:46: |
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Hallo Ferhat,
Zwei weitere Aufgaben:
4)
y'-y=1
========
Allgemein gilt:
Die Dgl: y'+f(x)*y=r(x)
hat als Lösung: y(x)= e-h*[ò r*eh*dx+C]
wobei: h(x)=ò f(x)*dx
===============
In unserem Beispiel ist
r=1
f= -1
h=ò (-1)dx = -x
also
y(x)= ex*[ò e-xdx +C]
y(x)= ex*(-e-x+C) = -1+Cex
y(x) = Cex-1
***************************
2)
y'=x²*y½
============
Trennung der Variablen:
y-½*dy = x²*dx
integrieren auf beiden Seiten:
ò y-½dy = ò x²dx
2*y½ = x³/3 + C
y(x)= x6/36 + C
============================== |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. November, 2000 - 13:22: |
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Hallo Ferhat,
Aufgabe 9)
y"+y=sin(2x)
===========
Charakteristische Gleichung:
r²+1=0
mit zwei konjugiert komplexn Lösungen:
r=i und r=-i
yh= Aeix+Be-ix
oder
yh=Acos(x)+Bsin(x)
=======================
Inhomogene:
Ansatz:
y=Ccos(2x)+Dsin(2x)
y"=-4Ccos(2x)-4Dsin(2x)
eingesetzt:
-4Ccos(2x)-4Dsin(2x)+Ccos(2x)+Dsin(2x)=sin(2x)
Koeffizientenvergleich:
4C+C=0
-4D+D=1
========
ergibt: C=0 und D=-1/3
yp= -(1/3)sin(2x)
======================
y(x)= Acos(x) + Bsin(x) - (1/3)sin(2x)
======================================== |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. November, 2000 - 14:34: |
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Hi Ferhat,
Nun Aufgabe 10
Die charakteristische Gleichung
k^2 - 15 k + 56.5 = 0 hat die zwei konjugiert komplexen
Lösungen k1 = 7.5 + i 0.5 , k2 = 7.5 - i 0,5 .
Die allgemeine Lösung der homogenen Dgl.
lautet somit
y = e ^ (15/2 * x) * [c1* cos (x/2)+ c2* sin(x/2)] ....(I)
c1, c2 sind Integrationskonstanten.
Für eine Lösung der inhomogenen Gleichung taugt
der Ansatz:
y = A * e ^ ( 3x ) .
Daraus:
y ' = 3 A * e ^ ( 3x )
y '' = 9 A * e ^ ( 3x )
Einsetzen in die gegeben DGl. und die Koeffizienten
von e ^ ( 3x ) links und rechts vom Gleichheitszeichen
gleichsetzen (Koeffizientenvergleich) , gibt eine Gleichung
für A :
9 A - 45 A + 56.5 A = 4
daraus A = 8 / 41.
Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung lautet
somit
y = 8 / 41 * e ^ ( 3 x ).
Addiert man dies zur allgemeinen Lösung der homogenen
Gleichung in (I) , so entsteht die allg. Lösung
Deiner Gleichung Nr 10.
Damit hat es für mich sein Bewenden
mit dieser Serie von Differentialgleichungen !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Ferhat Tutak (Istnichtschwer)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. November, 2000 - 21:21: |
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Hallo Fern und H.R.Moser,megamath,
danke für die ausführliche Hilfe. Konnte nicht vorher schreiben weil unser Server einige Tage ausgefallen ist.
Ich bin Neu im Gebiet Differentialgleichungen. Wie kann ich mir die Regeln angewöhnen -> Bücher
Kennt Ihr gute leichtverständliche Bücher für Anfänger ?! Das wäre nett !!!!
Danke im voraus
MfG
Ferhat |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. November, 2000 - 22:02: |
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Hi Ferhat,
Zum Selbststudium empfehle ich Dir die im
Vieweg-Verlag in Lizenz erschienen
Uebungsprogramme in Buchform
1.
Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung
Von E. Berane und H. Knorr
2.
Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung
Von E .Berane, H. Knorr und F .Lowke
Diese Programme ermöglichen es, Fähigkeiten und Fertigkeiten
beim Lösen von Differentialgleichungen zu gewinnen.
Sie sind ganz auf den praktischen Gebrauch ausgerichtet
Hoffentlich sind sie nicht vergriffen
(allenfalls bei der Akademischen Verlagsgesellschaft
Geest & Portig in Leipzig nachfragen)
Viel Erfolg !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Dezember, 2000 - 19:57: |
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Hi Ferhat,
Nur wenn du Englisch kannst:
http://www.sosmath.com/diffeq/diffeq.html |
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