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Beitrag |
    
Daisy
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Juli, 2002 - 15:30: | 
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Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion 4ten Grades, deren Schaubild symmetrisch zur y-Achse ist und in P(2\0) eine Wendetangente mit der Steigung -4\3 hat. |
Walter H. (mainziman)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 81
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Juli, 2002 - 15:55: |
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Hallo Daisy,
aus symm. => f'(0)=0
weiters auch an der Stelle -2 existiert eine Wendetangente, aber mit der gespiegelten Steigung;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
a Mainzelmännchen das gerne weiterhilft
und manchmal auch verwirrt *ggg*
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M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Juli, 2002 - 20:20: |
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Hallo Daisy,
was kann man aus dieser Aufgabenstellung alles ablesen?
1.ganzrationale Funktion 4en Grades mit Symmetrie
=>
f(x)=ax^4+bx²+c
2. (2,0) ist auf f, also
f(2)=0
3. f´(2)=-4/3
4. An 2 ist eine Wendetangente angelegt, d. h. (2,f(2)) ist Wendepunkt. D.h. f´´(2)=0 und f´´(2) Maximum (oder Minimum) von f´´, also notwendig:
f´´(2)=0 (aber nicht hinreichend!!!)
Was tun wir als erstes?
Nun, es ist immer gut, bei solchen Aufgaben die ersten 3 Ableitungen zu kennen:
i) f(x)=ax^4+bx²+c
ii) f´(x)=4ax³+2bx
iii) f´´(x)=12ax²+2b
iv) f´´´(x)=24ax (mal schauen, ob wir es brauchen können!)
So, was wissen wir nun:
I) f(2)=a*2^4+b*2²+c=0
also
16a+4b+c=0
II) f´(2)=-4/3
also
4*a*2³+2b*2=-4/3
<=>
32a+4b=-4/3
III) f´´(2)=0, also
12a*2²+2b=0
<=>
24a+b=0
Also:
I) 16a+4b+c=0
II) 32a+4b=-4/3
III) 24a+b=0
Nun denn, offensichtlich ist a leicht zu errechnen:
4*III)-II):
64a=4/3
<=>
a=1/48
Dann ist nach
III) b=-24a=-1/2
Nach 1 ergibt sich c zu:
c=-16a-4b=-1/3+2=5/3
Prüfen wir noch, ob f´´´(2)<>0 ist. Wenn dies der Fall ist, dann ist an 2 jedenfalls ein Wendepunkt. Wenn dies nicht der Fall ist, müssen wir anders überprüfen, ob an 2 ein Wendepunkt vorliegt.
Nach iv) ergibt sich mit a=1/48:
f´´´(2)=24*(1/48)*2=1>0.
Also liegt an (2,0) ein Wendepunkt vor.
Also lautet die gesuchte Funtkion:
f(x)=(1/48)x^4-(1/2)x²+(5/3)
Rechnen wir zur Kontrolle (ausnahmsweise) nochmal alles nach:
f(2)=(16/48)-2+(5/3)=0 okay!
f´(x)=(1/12)x³-x
Also f´(2)=(2/3)-2=-8/6=-4/3.
f´´(x)=(1/4)x²-1, also
f´´(2)=(4/4)-1=0
f´´´(x)=(1/2)x, also
f´´´(2)=1>0.
Wunderbar.
ERGEBNIS:
f(x)=(1/48)x^4-(1/2)x²+(5/3)
Mit freundlichen Grüßen
M. |
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