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Beitrag |
    
miriam
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Juli, 2002 - 14:49: | 
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Die Schaubilder von f und g mit f(x)= 4 - 0.25 * x² und g(x)= 0,5 * x² -2 begrenzen eine Fläche, der ein zur y-Achse symmetrisches Rechteck einbeschrieben wird. Für welche Lage der Eckpunkte wird sein Flächeninhalt extremal? Geben Sie Art und Wert des Extremums an.
Kann mir jemand dies Aufgabe vorrechnen? wär echt toll!
danke! |
Peter (analysist)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 86
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Juli, 2002 - 17:25: |
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Hallo,
da beide Graphen symmetrisch sind, genügt es, das halbe Rechteck zu betrachten.
Seine Eckpunkte liegen auf den Funktionsgraphen.
Eckpunkt rechts unten (u/0,5u^2-2)
Eckpunkt rechts oben (u/4-0,25u^2)
Eckpunkt links oben (0/4-0,25u^2)
Eckpunkt links unten (0/0,5u^2-2)
Die Länge des Rechtecks ist u, die Höhe (4-0,25u^2)-(0,5u^2-2)=6-0,75u^2
Definitionsbereich für u ist ]0;2SQRT(2)[
A(u)=6u-0,75u^3
A'(u)=6-2,25u^2
A''(u)=-5u
A'(u)=0
6-2,25u^2=0
u^2=8/3
u=+-SQRT(8/3), wobei -SQRT(8/3) nicht in ID
A''(SQRT(8/3))<0, also lokales Maximum
A(SQRT(8/3))=(8/3)SQRT(6)
Verhalten an den Rändern:
lim A(0)=0
lim A(2SQRT(2))=0
Es handelt es sich um ein absolutes Maximum.
Das gesuchte Rechteck hat also einen Flächeninhalt von (16/3)SQRT(6).
Eckpunkt rechts unten (SQRT(8/3)/-2/3)
Eckpunkt rechts oben (SQRT(8/3)/10/3)
Eckpunkt links oben (-SQRT(8/3)/10/3)
Eckpunkt links unten (-SQRT(8/3)/-2/3)
In rot das optimale Rechteck
Gruß
Peter |
miriam
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Juli, 2002 - 15:08: |
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danke für die ausführliche antwort!!
hab aber noch ne frage und zwar, warum ist die höhe f(x) - g(x) und nicht + ???
gruß miri |
Peter (analysist)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 89
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Juli, 2002 - 16:42: |
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weil es die Differenz der beiden Funktionswerte ist. Wenn du addieren wolltest, müsstest du die Beträge nehmen. f liegt oberhalb der Achse, hat also positive Werte, g liegt unterhalb der Achse, hat also negative Werte.
Wenn du jetzt f(x)-g(x) rechnest, hättest du (zum beispiel für x=1 ) 3,75 - (-1,5)=3,75+1,5=5,25
Gruß
Peter
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miriam
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Juli, 2002 - 20:19: |
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ah, danke ;) |
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