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Beitrag |
    
Phil
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juni, 2002 - 09:55: | 
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1a)Zeichne den Graph zu: f(x)= x+3, x Element R und g(x)0x²-9/x-3, x Element R{3}
b) Sind f und g gleich?
c) Gebe eine geeignete Einschränkung oder Fortsetzung von f und g an, so dass f=g wird.
2. Stelle fest, ob die Funktion f:R->Wf mit y=x+|x|-2 surjektiv, injektiv und bijektiv ist.
3. Ist die Funktion f(x)= Wurzel aus 3x+1; x Element R+ umkehrbar? |
Tom
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juni, 2002 - 14:53: |
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Hi Phil!
Ich vermute mal, dass die Funktion g(x)=(x²-9)/(x-3) heissen soll. Dann wären die beiden Funktionen nur im Intervall von -3 bis +3 gleich. Ansonsten weichen die Fkt.werte voneinander ab. Die geforderte Einschränkung müsste also lauten: für alle x Element R, für -3<= x <3
Zu 2) kann ich Dir keine Antwort geben. Keine Ahnung was surjektiv, injektiv und bijektiv bedeutet. Kannst mich ja mal aufklären.
zu 3) ja, die Umkehrfunktion lautet y= 1/3 * (x²-1)
Gruß Tom |
Henrik (sh4rki)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: sh4rki
Nummer des Beitrags: 71
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juni, 2002 - 15:25: |
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Hi Tom
Ich würd sagen die Funktionen sind auch außerhalb von 3 und -3 gleich! x²-9 = (x+3)(x-3)
Nur g(x) hat halt 2 Lücken bei den Punkten 3 und -3.
Gruß
Henrik |
Tom
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juni, 2002 - 20:19: |
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Hallo Henrik!
Hab mich tatsächlich verrechnet. Es stimmt, die Fkt.en sind wirklich gleich (bis auf die Lücke bei 3 (bei -3 ist allerdings keine Lücke, da der Nenner nicht 0, sondern -6 wird)). Sorry. mein Fehler.
Gruß Tom |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juni, 2002 - 22:34: |
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Hi Tom,
ich kläre dich auf:
...kann ich Dir keine Antwort geben. Keine Ahnung was surjektiv, injektiv und bijektiv bedeutet
Eine Funktion geht von einer Menge X nach Y (Y ist Zielmenge), also
f: X -> Y
Injektiv bedeutet, dass aus f(a)=f(b) zwingend folgt: a=b.
Oder, was äquivalent dazu ist, wenn a<>b =>
f(a)<>f(b)
So ist zum Beispiel f(x)=x²
(wenn f:IR+ -> IR) injektiv, während f(x)=x² (wenn f: IR -> IR) nicht injektiv.
Anschaulich bedeutet dass, wenn du eine Parallele zur x-Achse anlegst, so schneidet diese Gerade die Funktion höchstens in einem Punkt.
Eine Funktion f: X -> Y heißt surjektiv, wenn für alle Werte y der Zielmenge Y mindestens ein x aus X existiert mit f(x)=y.
So ist z.B. f: IR+ -> IR mit f(x):=Wurzel(x) nicht surjektiv, denn z. B. für y=-3 existiert kein x aus IR+ mit Wurzel(x)=-3!
Bijektiv heißt eine Funktion, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist!
Beispiel:
f: IR -> IR mit f(x)=x.
Diese ist sowohl injektiv als auch surjektiv, also insbesondere bijektiv!
Damit bearbeiten wir Aufgabe 2:
Stelle fest, ob die Funktion f:R->Wf mit
y=x+|x|-2 surjektiv, injektiv und bijektiv ist.
Eine Funktion f: IR -> Wf kann ja nur surjektiv sein, weil der Wertebereich hier definiert ist als:
{y aus Y: es existiert ein x aus IR mit f(x)=y}
Bleibt die injektivität zu prüfen:
y=x+|x|-2
Für x=0 ist y=-2
Für x=-1 ist ebenso y=-2
Also folgt aus f(a)=f(b) im allgemeinen nicht a=b. Somit ist die Funktion nicht injektiv, insbesondere nicht bijektiv, aber dennoch surjektiv!
Mit freundlichen Grüssen
M. |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juni, 2002 - 22:51: |
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Ergänzung zur Aufgabe 3:
Ist die Funktion
f(x)= Wurzel aus 3x+1; x Element R+ umkehrbar?
Im Prinzip ist die Aufgabenstellung fraglich, da hier kein Zielbereich angegeben wird. Wenn eine Funktion umkehrbar sein soll, muß sie bijektiv sein.
Ich fasse jetzt einfach mal
f: IR+ -> Wf={y aus IR: es existiert ein x aus IR+ mit y=Wurzel(3x+1)}
(als Beispiel. Besser wäre es,
die Funktion von [-1/3,oo) -> IR+ zu definieren! Aber egal...)
Dann ist sie umkehrbar. Nach meiner Konstruktion ist sie surjektiv.
Bleibt die Injektivität zu prüfen:
Sei a<>b mit a,b aus IR+.
=> a+1<>b+1
=> (wegen Eindeutigkeit der Wurzel)
Dann ist f(a)=Wurzel(3a+1)<>Wurzel(3b+1)=f(b), also ist f injektiv
=> f ist bijektiv
=>
Umkehrfunktion existiert
f^(-1)(y)=(1/3)y²-1
(f^(-1) bezeichne die Umkehrfunktion)
Warum braucht man die Bijektivität hier?
Betrachte dazu wieder
f(x)=Wurzel(3x+1), aber sei nun
f: IR+ -> IR+
(in IR soll die 0 immer enthalten sein!)
Dann betrachten wir f(x)=0
=>
x=-(1/3)
Damit ist aber x nicht mehr aus IR+, sondern aus IR- \ {0}
Also gibt es hier zu dem Wert 0 aus der Zielmenge keinen Wert x aus IR+, so dass f(x)=0 gilt.
Also läßt sich keine Umkehrfunktion angeben.
Mit freundlichen Grüssen
M. |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juni, 2002 - 22:56: |
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Korrektur:
In IR+ soll immer die 0 enthalten sein! In Ir is ja klar!
Mit freundlichen Grüssen
M. |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juni, 2002 - 23:06: |
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Sorry, nicht mein Tag heute allem Anschein nach:
Die Umkehrfuntkion lautet natürlich:
f^(-1)(y)=(1/3)[y²-1],
sofern sie denn existiert!
Mit freundlichen Grüssen
M.
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Tom
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Juni, 2002 - 17:39: |
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Hallo M!
Danke für die Erläuterungen, hab s jetzt kapiert.
Gruß Tom |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Juni, 2002 - 19:38: |
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Hallo Tom,
bitte. Eigentlich gar nicht so schwer. Aber woher soll man so etwas auch wissen, wenn man die Definitionen von surjektiv, injektiv und bijektiv nicht kennt?
Mit etwas Glück hättest du dies in einem Mathebuch gefunden, aber wahrscheinlich nicht in einem Schulbuch!
Aber was man sich merken sollte, ist:
Bijektivität ist notwendig für das Aufstellen einer Umkehrfunktiion!
Mit freundlichen Grüssen
M. |
Tom
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. Juni, 2002 - 18:10: |
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Hi M!
Irgendwie hab ich den Eindruck, dass Du mir (uns) mehr erklärst, als wir Dir. :-)
Gruß Tom |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. Juni, 2002 - 19:09: |
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Hallo Tom,
dafür ist solch ein Forum ja da, oder?
Mit freundlichen Grüssen
M. |
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