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Petra (petra85)
Neues Mitglied
Benutzername: petra85
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juni, 2002 - 18:01: | 
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In der Aufgabe musste man anhand von drei Punkten: Hochpunkt(0/4), Wendepunkt(2/2) und Tiefpunkt(4/0) die Funktion 3. Grades bestimmen.
Diesen Teil der Aufgabe hab ich soch lösen können.
Es ergibt sich die Funktion f(x)=1/8x³-3/4x²+4
Dieser Graph sollden Verlauf einer Metallrutsche dastellen. (von x=0 bis x=4)
Weiter heißt es in der Aufgabe: Prüfen sie anhand der entwickelten vorschrift, ob die Vorgabe des TÜV`s erfüllt ist, dass solche Rutschen an keiner Stelle steiler als 45° gegenüber der Horizontalen sein dürfen.
Es wäre cool wenn jemand die Antwort weiß!!! |
DULL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juni, 2002 - 18:45: |
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Hi Petra!
Wenn die Rutsche eine stärkere Neigung als 45° hätte, dann wäre die Steigung der Tangenten kleiner als -1. Also muss man prüfen, ob die Ableitungsfunktion in dem Intervall einen Wert kleiner als -1 annimmt.
die Ableitungsfunktion ist: f'(x)=3/8*x²-3/2*x
Leider wird der TÜV Probleme bei der Abnahme der Rutsche haben, denn z.B. f'(2)=-3/2, die Neigung ist dort also etwa 56,3°
ich hoffe, ich konnte dir helfen! |
Anneliese
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juni, 2002 - 19:12: |
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Vielleicht sollte man es mit Differentialgleichungen probieren! |
Totti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juni, 2002 - 21:23: |
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mit dem allgemeinen Ansatz
f(x)=ax³+bx²+cx+d
f'(x)=3ax²+2bx+c
f"(x)=6ax+2b
Das muss nur in Ausnahmefällen zum Erfolg führen, denn es kommen hier 4 Unbekannte vor, es sind aber 7 Bedingungen gegeben, die erfüllt werden müssen:
f(0)=4, f'(0)=0, f(2)=2, f''(2)=0, f(4)=0, f'(4)=0 und f'(x) > -1 für 0 <= x <= 4
nun kann man versuchen, drei Bedingungen wegzulassen, damit das entstehende Gleichungssystem nicht überbestimmt ist; dabei liegt es am nächsten, die Bedingung des Wendepunktes fallen zu lassen, da es nicht so wichtig ist, wo die Rutschenkurve ihr maximales Gefälle erreicht, solange die TÜV-Vorgabe eingehalten wird und es nicht über 45° ist.
Sehr wahrscheinlich wird es wichtiger sein, dass die Außenmaße der Rutsche nach wie vor bei 4 bleiben.
Also z.B. die vier Bedingungen
Hochpunkt(4|0), Punkt (0|4) und f'(x) > -1 für 0 <= x <= 4:
f(4)=0 => 64a + 16b + 4c + d = 0
f'(4)=0 => 12a + 8b + c = 0
f(0)=4 => d=4
f'(x) > -1
also folgt das Gleichungssystem
64a + 16b + 4c + 4 = 0
12a + 8b + c = 0 |*(-2) => -24a - 16b - 2c = 0
mit der Ungleichung f'(x) > -1
addiere die beiden Gleichungen:
40a + 2c + 4 = 0
löse nach c auf:
c = -20a - 2
setze dieses in 12a + 8b + c = 0 ein und löse nach b auf:
8b = -12a - c = -12a + 20a + 2 |:8
b = a + 1/4
also:
f(x) = ax³ + (a+1/4)x² + (-20a - 2)x + 4
Ableitung bilden,
f'(x) = 3ax² + 2(a+1/4)x -20a - 2
um die Ungleichung berücksichtigen zu können:
f'(x) > -1
es ergibt sich das Ungleichungssystem
3ax² + 2(a+1/4)x -20a - 2 > -1 und 0 <= x <= 4
alternativ könnte man auch die Bedingung fallenlassen, dass bei (4|0) ein Hochpunkt sein soll:
Punkt(4|0), Tiefpunkt(0|4) und f'(x) > -1 für 0 <= x <= 4
...
auch so eine Art Differentialungleichungssystem...
Am einfachsten kann man es sich allerdings machen, indem man die Rutschenkurve durch y=-x+4 beschreibt, dann hat sie sogar einen Wendepunkt bei (2|2) und an den Rändern des Intervalls 0 <= x <= 4 liegt bei x=0 ein absoluter Hochpunkt und bei x=4 ein absoluter Tiefpunkt:
Die Rutsche liegt auf einer Geraden. |
Petra (petra85)
Neues Mitglied
Benutzername: petra85
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juni, 2002 - 14:02: |
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Zu dem was DULL gesagt hat.
Wenn ich die Steigung an einem Punkt ausgerechnet hab, wie komme ich dann darauf wie groß die Neigung dort ist.
Wie bei deinem Beispiel: bei der Steigung -3/2 ist die Neigung 56,3°. Aber wie kommt man auf die 56,3°? |
DULL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juni, 2002 - 19:49: |
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Hi Petra!
Du musst den arctan der Steigung nehmen, also:
arctan(-3/2)=-56,309932° |
Petra (petra85)
Neues Mitglied
Benutzername: petra85
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 10:56: |
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Und wie mach ich das? Gibts da ne Taste auf dem Taschenrechner oder wie? |
DULL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 14:13: |
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ja, auch der taschenrechner kann das:
der arcus-tangens ist die Umkehrfunktion des Tangens. Auf den meisten Taschenrechnern steht tan-1. Meist ist es die Zweitbelegung der tan-Taste. Man erreicht diese über shift+tan oder 2ndf+tan, je nach Modell. Du musst allerdings aufpassen, dass du im DEG-Modus rechnest und nicht im Bogenmaß (RAD), da du einen Winkel bekommen möchtst.
Ich hoffe das hilft dir |
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