| Autor |
Beitrag |
    
Ingo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. November, 2000 - 14:01: | 
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Hi Leute
mir ist das folgende beispiel einfach zu hoch würde es aber gerne verstehen darum bitte ich euch mir zu helfen.
Geg.:
bestimmen Sie für folgende DGL eine fundamentalmatrix
y´´(t)+5y´(t)=11(sint)² +1
und daraus die allgemeine variation der konstanten |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. November, 2000 - 07:42: |
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Hi Ingo,
Das charakteristische Polynom Deiner linearen Dgl.
zweiter Ordnung lautet :
k^2 - k = 0 mit den Lösungen k1 = 0, k2 = - 5.
Die Lösung der homogenen Dgl. ist somit
y = c1 + c2 * e ^ (-5 t) mit den Integrationskonstanten
c1 und c2.
Um die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung
zu ermitteln, suchen wir eine partikuläre Lösung yp der
inhomogenen Lösung, die wir dann zur obigen Lösung
der homogenen Gleichung addieren.
Um yp zu suchen, wählen wir die Methode des Ansatzes;
im Hintergrund ist dabei die Methode der Variation der
Konstanten wirksam, vordergründig jedoch Geschick
Intuition und Glück.
Der Ansatz für yp lautet
(der Index p wird von nun an weggelassen):
y = a * [sin t] ^ 2 + b* sin t * cos t + c * t
a , b , c . sind zu bestimmende Konstanten
Daraus:
y ' = 2 a sin t * cos t + b * [cos t] ^ 2 - b* [sin t] ^ 2 + c
y ' ' = 2a* [cos t] ^ 2 - 2a *[sin t] ^ 2 - 4 b * sin t * cos t
Setzt man dies in die inhomogene Dgl. ein und ersetzt
konsequent [cos t] ^ 2 durch 1 - [sin t ] ^ 2 , so erhält man
bei sorgfältiger Rechnung:
2a - 4a * [sin t ] ^2 - 4b * sin t * cos t + 10 a * sin t * cos t
+ 5 b - 10b* [sin t]^2 + 5c = 11 * [sin t] ^ 2 + 1
Setzt man die Koeffizienten von
[sin t] ^ 2 , von sin t * cos t und die Konstanten links und
rechts vom Gleichheitszeichen einander gleich (Koeffizientenvergleich),
so erhält man drei Gleichungen für a , b , c, nämlich:
- 4a - 10 b = 11
- 4b + 10 a = 0
2a + 5b +5c = 1
mit den Lösungen:
a = -11 / 29 , b= - 55 / 58 , c = 13 / 10
Somit lautet die allgemeine Lösung der vorgelegten Dgl.
y = c1 + c2 * e ^ (-5t) - 11/29 * [sin t] ^2 -55/58* sin t * cos t + 13 /10 * t.
Mache die Probe durch Einsetzen !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. November, 2000 - 07:46: |
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Korrektur;
Die charakteristische Gleichung lautet:
k ^ 2 + 5 k = 0
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
ingo
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. November, 2000 - 11:17: |
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Vielen Herzlichen Dank !!!!!!!!
Mfg Ingo |
ingo
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. November, 2000 - 11:18: |
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Vielen Herzlichen Dank !!!!!!!!
Mfg Ingo |
ingo
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. November, 2000 - 18:24: |
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was is aber nun mit der "fundamentalmatrix" und was bedeutet "die allgemeine variation der konstanten " |
ingo
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. November, 2000 - 18:27: |
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was is aber nun mit der "fundamentalmatrix" und was bedeutet "die allgemeine variation der konstanten " |
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