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Matthias
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. September, 1999 - 22:07: | 
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Hallo,
ich versuche gerade eine Funktionsuntersuchung für f(x)=[(3x^2+4x+4)(x-1)]/(4x^2-16) zu machen und bin am verzweifeln!
ich habe den zähler ausmultipliziert = 3x^3+x^2-4 und dann eine polynomdivision mit dem nenner versucht - ergebnislos geht das überhaupt? irgenwie habe ich das nie richtig verstanden.
die Ableitung habe ich dann nach divisonregel gebildet f'(x)=(36x^4-168x^2)/(16x^4-125x^2+256) naja klingt plausibel...erste massieve probleme habe ich bei den nullstellen - klar zöhler nullsetzten: 0=3x^3+x^2-4 ja was jetzt? p-q-formel ist wohl nicht,was? ich habe versucht x mal auszuklammern aber irgenwie klappt das alles nicht.
bei den extrempunkten habe ich folgendes gemacht.
f'(x)=0
0=(36x^4-168x^2)/(16x^4-125x^2+256)
=36x^4-168x^2
=x^2(36x^2-168)
XE1 = 0
XE2.3 = wurtzel aus 4,6 (4,6^(1/2 oder) also 2,16 und -2,16
das sind also drei mögliche extrempunkte - ist das soweit richtig? die ergebnisse stimmen leider nicht mit dem graphen überein, den winFunktion auspuckt....
würde mich freuen wenn mir mal jemand witerhilft
mfg
matthias |
Ingo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. September, 1999 - 22:48: |
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Hallo matthias,
leider ist Dir bei der Berechnung der Ableitung ein Fehler unterlaufen.Richtig gerechnet kommt nämlich herraus :
f'(x)=3/4 * x2 * (x2-12)/(x2-4)2
und das ist einfacher zu lösen : x=+/-Wurzel(12) oder x=0
Überprüfe doch noch mal Deine Rechnung und ziehe den Vorfaktor 1/4 vor die Ableitung,dann wird es einfacher.
f(x)=1/4 * (3x3+x2-4)/(x2-4) => f '(x)=1/4 * ...
Zu den Nullstellen : Hier hilft die ursprüngliche Form weiter,da sie in Produktform vorliegt.
Die Nullstellen sind dort,wo einer der beiden Terme 0 wird,also bei x=1 (3x2+4x+4>2)
Polstellen : 4x2-16 = 0 => x=+/-2 |
Andreas Böpple
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. September, 1999 - 17:57: |
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Hallo!
Ich werde _Klausur_ schreiben, und zwar morgen!
Damit ich nichts falsches tue, möchte ich wissen
wie man eine gebrochene-rationale Funktion untersucht( und auch wie man den Graph zeichnet).
Also, bitte, kann jemand mir helfen?!
Danke... |
Boar1234
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. September, 1999 - 19:28: |
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Hallo,
ich bin neu hier und verzweifel an einer Aufgabe im Bereich "Nullstellen ganzrationaler Funktionen".
Leider verstehe ich das Thema nicht so ganz.
Die Funktion lautet: f(x)=x³+2x²-x-2
Es wird folgende Aufgabestellung gegeben:
Berechnen der Nullstelle nach dem "Horner Schema" und nach der "Polydivision"
Kannst Du mir helfen - das wäre nett. Anhand eines
Lösungsweges kann ich die anderen Aufgaben alleine schaffen.
Danke
Gruß |
Gerd
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. September, 1999 - 22:18: |
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Andreas,
kurz zu gebrochen rationalen Funktionen:
Das ist ja nichts anderes wie "Polynom"/"Polynom" und die Besonderheit ist folgende:
Der Nenner soll ja nicht Null werden, also setzen wir ihn = 0 um die Definitionslücken zu berechnen. Das sind manchmal "hebbare" Lücken, das sieht man später am Graphen, wenn er keine Luftsprünge macht an dieser Stelle und dann können das auch Polstellen sein (wie bei der Funktion 1/x) an der Stelle x=0.
Ansonsten behandelst Du die Funktion wie ein folgt:
Einfache Nenner Null setzen für die Nullstellen, dann Ableitungen berechnen (per Quotientenregel) und dann die Nullstellen der Ableitungen für Extremwerte/Wendestellen bestimmen.
Aber immer Achtung bzgl. der Definitionslücken.
Alternativ kannst Du auch eine Polynomdivision machen, unter Umständen vereinfacht das die Ableitungen ungemein.
Viel Glück morgen bei der Klausur !!
Gerd |
Ingo
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. September, 1999 - 23:48: |
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Hallo Boar,
eine Nullstelle kann man durch genaues hinsehen sofort erkennen : x=1
Um jetzt eine Zerlegung des Terms durchzuführen kannst Du Polynomdivision durchführen,wobei sich hier das Horner-Schema empfielt :
1 2 -1 -2
0 1 3. 2. (unterste Zeile * Nullstelle)
----------
1 3 2. 0 (erste+zweite Zeile)
Also kann man den Funktionsterm in (x-1)(x2+3x+2) zerlegen.Dieser hat bei x=-1 eine weitere Nullstelle und wieder kommt das Horner Schema dran :
1 3. 2
0 -1 -2
-------
1 2 0
=> f(x)=(x-1)(x+1)(x+2) |
Friderieke
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. September, 1999 - 12:44: |
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Wie kann man bei der Funktion
f(x) = (x+1)/(x^^2 - x -2) feststellen, ob hebbare Lücken oderPole vorliegen? |
clemens
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. September, 1999 - 16:24: |
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Hallo, Friderieke!
Zu so einer Untersuchung mußt du zunächst einmal den Nenner auf Nullstellen untersuchen.
x^2-x-2=0 -> x=-1,2
den Nenner kannst du also auch als (x+1)*(x-2) schreiben. Die Funktion ist also
f(x)= (x+1)/((x+1)*(x-2))
der Tem (x+1) läßt sich kürzen und wenn du nun x=-1 einsetzt, erhälst du den Funktionswert -1/3.
f hat also bei x=-1 eine hebbare Lücke.
anders bei x=2, wo nämlich ein Pol vorliegt. Auch wenn du kürzt, hast du noch immer "1/0"!
wenn du noch fragen hast, mail mir.
clemens |
Clemens
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Januar, 2000 - 18:27: |
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Auf eine Anfrage will ich hier meine Erklärung nochmal genauer ausführen: Leider etwas abstrakt.
Vorgehensweise:
Wir nennen den Zähler von f(x) einfach zf(x) und den nenner nf(x).
Nullstellen des Nenners suchen.
Sagen wir x0 ist so eine Nullstelle.
dann gibt's die Möglichkeiten
(a) zf(x0) = 0
dann kann ich (x-x0) kürzen und muß WEITERuntersuchen:
sei also f1 der gekürzte Ausdruck, dann gibt's wieder einen Nenner nf1(x).
Wenn x0 eine Nullstelle des neuen Nenners ist kann ich weitermachen wie zu Beginn, das Kürzen hat die Situation zwar vereinfacht, aber das Problem ist wieder das ursprüngliche: ich weiß noch garnichts.
Wenn aber x0 keine Nullstelle mehr von diesem Nenner ist, bin ich auf eine LÜCKE gestoßen.
(b) zf(x0) ist nicht Null
dann habe ich sofort einen Pol.
Beispiel:
f(x) = (x³ - 6x² + 11x - 6) / (x³ - 4x² - 5x - 2)
Nullstellen des Nenners sind 1 und 2
nehmen wir uns 1 vor:
zf(1) = 1-6+11-6 = 0
also kürzen:
f1(x) = (x² - 5x + 6) / (x² - 3x + 2)
Nullstellen des neuen Nenners sind 1 und 2
wir untersuchen ja 1, also
schauen wir uns den neuen Zähler an der Stelle 1 an:
1 - 5 + 6 <> 0
also ist 1 ein POL!!!
jetzt zurück zur ursprünglichen Funktion:
wir untersuchen die Stelle 2:
zf(2) = 8 - 6*4 + 11*2 - 6 = 0
also kürzen:
(x² - 4x + 3) / (x² - 2x + 1)
wie leicht zu sehen ist wird der Nennerausdruck bei 2 NICHT Null,
also ist 2 eine LÜCKE.
Hoffe das ist jetzt klar.
/Clemens |
Clemens
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Januar, 2000 - 18:30: |
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Ach ja, wenn ich Zähler und Nenner gleich faktorisieren kann, ist's ganz einfach (dumm daß ich das übersehen habe).
Kürzen, was das Zeug hält!
Die Faktoren die dann noch im Nenner stehen sind genau die Pole, alles andere waren Lücken.
Aber warum einfach, wenns kompliziert auch geht?
8-)
/Clemens |
Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Mai, 2000 - 19:47: |
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Was ist eine Lücke? |
franz
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Mai, 2000 - 07:25: |
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Nach Erinnerung: Eine Stelle a, in deren Umgebung die Funktion f(x) differenzierbar (stetig?) ist, bei a selber jedoch nicht und wo durch ein Wert b diese Lücke "gestopft" werden kann f(a):=! b, so daß dieses Eigenschaft in der kompletten Umgebung gilt. Beispiel y(x):=x/x, y(0):=1, F. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Mai, 2000 - 19:18: |
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Hi,
Man spricht von "Lücken" namentlich unter dem folgenden Titel:
stetige Fortsetzung in eine Definitionslücke hinein.
Die Funktion f(x) habe an der Stelle x = a eine Definitionslücke ;
der Grenzwert von f(x) im Sinne,dass x gegen a strebt, existiere
und sei g.
Dann kann die Funktion eindeutig in die Stelle a hinein stetig
fortgesetzt werden, d.h. man kann eine Fortsetzung F(x) von f(x)
definieren durch das Postulat
F(x) = f(x) für alle x-Werte, die von a verschieden sind und
F(a) = g =lim (f(x)) ( Grenzwert im Sinne x strebt gegen a) für x = a
Wir bringen einige Beispiele und Gegenbeispiele
(1) f(x) = (1 - x ^ 3) / (1 - x )
Definitionslücke a = 1
Grenzwert g existiert : g = 3
(2) f(x) = sin (x) / x
a = 0
g = 1
(3) f(x)= x * sin (1/x)
a = 0
g = 0
(4) f(x) = sin (1/ x)
a = 0
g existiert nicht , f(x) lässt sich nicht in die Stelle x = 0 stetig fortsetzen.
(5) f(x) = 1 / x^2
a = 0
g existiert nicht, keine stetige Fortsetzung nach x = 0 möglich
(6) f(x) = 1 / (1+x^2)
es gibt keine Definitionslücke.
u.s.w
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Mit freundlichen Grüßen.
H.R
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