| Autor |
Beitrag |
    
Yali
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. November, 2000 - 16:34: | 
|
Hallo,
wer kann mir einen Lösungsansatz für die folgende Aufgabe geben? Ich verstehe sie überhaupt nicht und kann sie nicht mal skizzieren, weil ich gar nicht weiß, was konzentrische Kreise sind.
1) Gegeben ist der Punkt A(a;0) mit a>0 sowie die Schar der konzentrischen Kreise k: x²+y²=r². Der Scharparameter r genügt der Bedingung 0<r<a. Von A aus werden die Tangenten AB und AC an den Kreis k gelegt. Konstruiere jenen Kreis, für den der Inhalt des Dreiecks ABC ein Maximum wird!
Vielen Dank schon im Voraus
die verzweifelte
Yali |
thomas
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. November, 2000 - 02:20: |
|
Konzentrische Kreise sind Kreise mit unterschiedlichem Radius aber gleichem Mittelpunkt.
Eine Tangente hat an den Kreis nur einen Schnittpunkt(Berührungspunkt)
Die Geradengleichung ist
y=mx+t
Sie geht durch (a;0):
0=ma+t
t=-ma
=> y=mx-ma
Diese setzt Du nun mit y= x^2+y^2=r^2 gleich
und erhältst eine positive und eine negative Lösung von x (Diskriminante=0) für die Berührungspunkte in Abhängigkeit von a und r.Maximaler Inhalt heißt 1.Ableitung ist Null und zweite Ableitung kleiner Null.Versuchs ab da mal weiter und frag nach, wenn Du nicht weiterkommst |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. November, 2000 - 15:20: |
|
Hi Yali,
Diese Aufgabe muss mit aller Sorgfalt angegangen
werden, wenn wir damit zu einem guten Ende
kommen wollen.
Es ist nicht notwendig, die Steigung m der Tangente
und eine Diskriminante ins Spiel zu bringen !
Wir gehen so vor.
Die Kreissehne BC schneidet den Kreisdurchmesser OA
Im Punkt F ; O ist der Nullpunkt des Koordinatensystems.
Die Strecke OF sei u , die Strecke FB sei v
Das Dreieck ABC ist gleichschenklig mit der Basis BC
und der zugehörigen Höhe h = FA.
Nach dem Kathetensatz im rechtwinkligen Dreieck OAB
Gilt: r ^ 2 = a * u, daraus: u = r ^ 2 / a , wegen h = a - u also:
h = a - r ^ 2 / a..= (a^2 - r^2) / a................................................(1)
Nach Pythagoras im Dreieck OFD gilt:
v = wurzel (r ^ 2 - u ^ 2 )..und
mit u = r ^ 2 / a:
v = wurzel [r ^ 2 - r ^ 4 / a ^ 2] = r / a * wurzel ( a^2 - r^2)......(2)
Mit den Beziehungen (1) und (2) erhält man für den
Flächeninhalt F des Dreiecks ABC als Funktion von r:
F = h * v = r / a^2 * ( a ^2 - r ^ 2 ) * wurzel(a^2 - r^2),
zusammengefasst:
F= r / a ^ 2 * [a^2 - r^2]^(3/2);
den konstanten Faktor a^2 im Nenner lassen wir weg und
betrachten die einfache Funktion
f ( r ) = r * [ a ^ 2 - r^ 2 ] ^ ( 3 / 2 ).
Diese Funktion in r ( a ist darin eine Konstante) ist null für
r = 0 und r = a, dazwischen ist f ( r ) positiv und
nimmt im Inneren des Intervalls ein Maximum an.
Um dieses Maximum zu ermitteln ,leiten wir f ( r )
mit der Produktregel und Kettenregel nach r ab.
f ' = (a^2-r^2)^(3/2) - 2 r ^2 * 3 /2 * ( a^2 - r^2) ^(1/2)
Wir setzen f ' = 0 und lösen nach r auf
Der Faktor (a^2 - r^2) ^(1/2) kann weggekürzt werden
und es bleibt:
a ^ 2 - r ^ 2 = 3 r ^ 2 ,daraus
r = a / 2 als Schlussresultat
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Yali
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. November, 2000 - 15:33: |
|
Hallo Thomas und H.R.Moser,
ich finde beide Lösungswege ziemlich kompliziert, aber ich habe sie verstanden. Und möchte mich jetzt für die Hilfe bedanken.
Viele Grüße von
Yali (jetzt nicht mehr verzweifelt) |
|
