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Beitrag |
    
Kathrin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Juni, 2002 - 13:21: | 
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1) Gegeben ist die Parabel mit der Gleichung f(x)= -x²+2
Diese Parabel hat in einem Punkt P die Tangente t. Die Orthogonale zu dieser Tangente im Punkt P schneidet die y-Achse im Punkt P0. Die Strecke von P und Po bezeichne ich als h. In welchem Punkt P wird h am größten?
Mein Ansatz:
P (x/ -x²+2)
f’(x)= -2x
mt= -2x²
und mo (Steigung der Orthogonalen)= 1/(2x)
Dann habe ich für die Tangentengleichung so weitergerechnet:
-x²+2= -2x²+b
mt= -2x+x²+2
-x²+2= ½+b
mo= 1/(2x)-x² + 1,5
Dann habe ich beide Gleichungen gleichgesetzt:
-2x+x²+2= 1/(2x)-x²+1,5
und x=1 herausbekommen.
Nur bezweifle ich, dass mein Rechenweg richtig ist..
2) f(x)= -x^4+2x^3-2tx+t
Für welchen Wert von t haben die Wendepunkte den kleinsten Abstand voneinander ?
Mit der zweiten Ableitung sind die Wendstellen x=0 und x=1.
W1 (0/t)
W2 (1/ 1-t)
Der Abstand zum Quadrat ist (1-0)²+ (1-t-t)². Der Abstand wird minimal, wenn auch der Betrag unter der Wurzel minimal wird. Also schreibe ich für den Abstand einfach:
A (t)= (1-0)²+ (1-t-t)²
Aufgelöst ergibt das
t²-t+ 0,5
Wenn man ableitet, bekommt man t= 0,5 heraus. Ist diese Lösung richtig?
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Raphael
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Juni, 2002 - 19:13: |
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Hallo Kathrin !
Zu 1.)
Die Gleichung der Normalen im Punkt (x0,f(x0)) auf f(x) ist
(siehe orange Formelsammlung Seite 59)
y(x) = -1/f ‘(x0)*(x-x0)+f(x0)
also
y(x) = 1/(2x0)*(x-x0) –x0^2+2
jetzt musst Du die Länge der Strecke zw. P und P0 berechnen also
erstmal
x=0 setzen
y(0) = 1/(2x0)*(-x0)-x0^2+2 = -1/2 –x0^2+2 = x0^2+3/2
Dann ist der Schnittpunkt mit der y-Achse
(0|x0^2+3/2)
Der andere Punkt war (x0 | -x0^2+2)
Jetzt wieder Pythagoras (Abstand zw den Punkten) und Minimum !!!
Kannst Du selber!!
2.) ist richtig!
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Kathrin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Juni, 2002 - 18:27: |
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Zu 1) Ist Lösung x=1,27 richtig?!? Das habe ich nämlich gestern Abend rausbekommen, nachdem ich die Aufgabe noch mal in Ruhe alleine gerechnet habe.  ) |
Raphael
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Juni, 2002 - 19:39: |
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Hallo Kathrin!
Der Schnittpunkt mit der y- Achse ist
(0|-xo^2+3/2),
Da habe ich das minus übersehen!
Aber dann ist der Abstand der zwei Punkte
Wurzel((xo-0)^2+(-xo^2+2-(-xo^2+3/2))^2)
=Wurzel(xo^2+1/4) und der wird grösser, je grösser xo wird !!!Kein Maximum |
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