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Peter v.H. (Logitwo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. November, 2000 - 11:26: | 
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Kann uns bitte jemand erklären wie man den Limes bei folgenden Aufgaben berechnet:
1) lim(x->0) (1+ax)^(b/x)
2) lim(x-> */2) cos5x/cot3x
3) lim(x->*) ((x^3-x^2)^(1/3) -x
Wir wissen überhaupt nicht weiter und sind jedem Dankbar für Hilfe jeder art.
MfG
Die 3 |
mathematicus
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. November, 2000 - 12:13: |
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hi ihr drei
bei 1) kann man ausnutzen, dass
(1+ax)^(b/x)=(e^(ln(1+ax)))^(b/x)=
e^((b/x)*ln(1+ax))
ist. der grenzwert u:=lim(x->0) b*ln(1+ax)/x
sollte kein problem sein, und e^u ist dann der gesuchte grenzwert.
was für limites sind bei 2) und 3) gesucht ?
bye, mathematicus |
Peter v.H. (Logitwo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. November, 2000 - 12:33: |
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Hier die Aufgaben nochmal, diemal mit limites f. 2) &3)
1) lim(x->0) (1+ax)^(b/x)
2) lim(x-> Pi/2) cos5x/cot3x
3) lim(x->unendlich) ((x^3-x^2)^(1/3) -x
Wir brauchen immer noch dringend hilfe
MfG
Die 3 |
mathematicus
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. November, 2000 - 15:11: |
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so, hier bin ich wieder.
die 1 habt ihr jetzt sicher lösen können, oder ?
zur 2) wenn ihr die Regel von de l'Hospital nehmt,
ist
lim cos(5t)*sin(3t)/cos(3t)=
lim (-5*sin(5t)*sin(3t)+3*cos(5t)*cos(3t))/(-3*sin(3t))=(-5*1*(-1)+3*0*0)/(-3*(-1))=5/3.
man kann auch die Additionstheoreme nehmen.
zur 3) der Trick hier ist, dass immer
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) gilt (binom. Formel !)
hier ist a=(x^3-x^2)^(1/3) und b=x.
denkt euch den bruch ((x^3-x^2)^(1/3)-x)/1
(das wäre gerade (a-b)/1)
erweitert ihn mit
(x^3-x^2)^(2/3)+x*(x^3-x^2)^(1/3)+x^2
(dies ist genau a^2+ab+b^2)
dann bleibt im Zähler a^3-b^3=x^3-x^2-x^3=-x^2
und im nenner eben der term mit dem ihr erweitert habt. im nenner kann man einiges rausziehen:
nenner=x^2(1-1/x)^(2/3)+x^2*(1-1/x)^(1/3)+x^2
nun noch mit mit x^2 kürzen und ihr bekommt
im zähler -1 und
im nenner (1-1/x)^(2/3)+(1-1/x)^(1/3)+1
die klammerterme gehen alle gegen 1 für x->unendl.
als geht der nenner gegen 3, und der gesuchte limes ist 3.
mfg,
mathematicus |
mathematicus
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. November, 2000 - 15:13: |
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SORRY MUSS NATÜRLICH -1/3 HEISSEN !!!!!
mathematicus |
Peter v.H. (Logitwo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. November, 2000 - 16:23: |
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Vielen Dank für Deine schnelle Hilfe. Das hat uns echt weiter geholfen und eigentlich ist es ja gar nicht so schwer, wie es aussieht.
Peter |
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