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Tubble (tubble)
Mitglied
Benutzername: tubble
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juni, 2002 - 19:12: | 
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Hallo!
Ich muss mal wieder auf euer Genie hoffen ;-)
Helft mir mal bitte mit folgender Aufgabe:
Ein Stadion hat die Form eines Rechtecks mit zwei angesetzten Halbkreisen. Der Umfang beträgt 400m. Welche Maße muss das Rechteck erhalten, wenn seine Fläche maximal sein soll? (Halbkreise beachten!) |
Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juni, 2002 - 21:58: |
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Hallo Tubble,
na, im Prinzip ganz einfach.
Du stellst eine Flächenfunktion
A(x) auf.
x ist die eine Rechteckseite (auf dieser werden die Kreise gelegt!). Die andere sei y. Dann gilt:
2x+2y=U=400, also y=200-x.
Fläche(Rechteck)=x*y=x(200-x)
Fläche(Kreis)=pi*(x/2)² (denn du kannst aus Symmetriegründen die beiden Halbkreise zu einem zusammenfügen! Radius ist dann (x/2))
Also ergibt sich als Flächenfunktion
A(x)=Fläche(Rechteck)+Fläche(Kreis)
Daraus folgt
A(x)=x*(200-x)+pi(x/2)²
<->
A(x)=-x²+200x+(pi*x²)/4
<->
A(x)=[(pi-4)/4]x²+200x
Bei einem Maximum ist notwendig, dass die Ableitung 0 ist:
A´(x)=[(pi-4)/2]x+200=0
=>
x=-400/(pi-4)ungefähr 465,97... Meter
Da A´´(x)=(pi-4)/2<0 =>
A(x) hat an x=465,97... Meter ein (lokales) Maximum. Das hilft uns aber nicht, weil dann die andere Seite 200-465,97..<0 wäre !
Also bleibt dir nur folgende Überlegung:
Links dieses lokalen (sogar globalen) Maximums ist f monoton wachsend. (Denn: Umgekehrte Parabel). Mit x=200 ist der Flächeninhalt maximal (da je größer x desto größer A(x) und y=200-x>=0 gilt).
Dann kannst du sagen, dass das Rechteck ganz verschwinden muß und dann hat der Kreis mit dem Radius 100Meter maximalen Flächeninhalt!
Finde ich (etwas) merkwürdig, diese Aufgabe. Vielleicht habe ich mich verrechnet? Habs aber 3Mal durchgerechnet!
Tschau
Gast2 |
Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juni, 2002 - 22:16: |
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Hmmm, da könnte ich einen Ansatzfehler gemacht haben:
Ich hab unter Umfang den Umfang des Rechteckes (mit den Seiten x,y) verstanden. Vielleicht ist aber auch (bei meinen Bezeichnung) folgendes zu verstehen:
2y+2*pi(x/2) (also 2*y+Summe der 2 Kreisbogen!)
Dann wäre also
2y+pi*x=400
und
y=200-(pi/2)x (I)
Dann hättest du als Flächenfunktion
A(x)=x*y+pi*(x/2)² und mit (I) folgt dann als Flächenfunktion
A(x)=x*(200-(pi*x/2))+pi*(x/2)²
ausmultiplizieren, sortieren...
Der Rest verläuft dann analog!
Sorry, aber unter "Umfang" verstehe ich immer direkt den Umfang des Rechteckes. Ist aber fraglich, was hier gemeint ist?
Tschau
Gast2 |
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