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Beitrag |
    
AnakinSkywalker
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Mai, 2002 - 16:29: | 
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...für mich jedenfalls. Also sie lautet wie folgt:
Welche Beziehung muss zwischen b und c bestehen, damit die ganzrationale Funktion 3.Grades
f(x)=x³+bx²+cx+d (b,c,d Element R)
a) genau einen Hoch-und Tiefpunkt besitzt,
b)genau einen Sattelpunkt besitzt
c)weder einen Hoch- und Tiefpunkt noch einen Sattelpunkt besitzt?
Ich bedanke mich im vorraus für die Mühe, die ihr euch hoffentlich macht... |
Qui-Gon Jinn
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Mai, 2002 - 20:50: |
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f(x)=x³+bx²+cx+d
f'(x)=3x²+2bx+c
f''(x)=6x+2b
f'''(x)=6
ich interpretiere
a) je einen Hoch- und Tiefpunkt ...
f'(x)=0 setzen, x ausrechnen:
3x²+2bx+c = 0 |:3
x² + 2bx/3 + c/3 = 0
Detailrechnung bitte R2D2 erledigen lassen...
x = -b/3 ± Ö(b²/9 - c/3)
damit hier nun je ein Hoch- und Tiefpunkt möglich sind, muss der Radikand größer als Null sein:
b²/9 - c/3 > 0 |*9
b² - 3c > 0
b² > 3c
b)
das Ergebnis für x von oben wiederverwenden:
x = -b/3 ± Ö(b²/9 - c/3)
nun dürfen keine zwei Stellen vorhanden sein, an denen Extrema/Sattelpunkte liegen können, also muss x = -b/3 ± Ö(b²/9 - c/3) = -b/3 sein und damit folgt, dass der Radikand gleich Null ist:
b²/9 - c/3 = 0
also b² = 3c
und x=-b/3 erfüllt die hinreichende Bed. für einen Sattelpunkt:
f''(-b/3) = 6*(-b/3) + 2b = -2b + 2b = 0
und f'''(-b/3) ¹ 0, also Sattelpunkt bei x=-b/3
c) weder einen Hoch- und Tiefpunkt noch einen Sattelpunkt
wieder das obige Ergebnis weiterverfolgen:
nun dürfen überhaupt keine Lösungen mehr möglich sein. Da f bisher immer entweder Extremum oder Sattelpunkt hatte, ist nun gefragt, wann der Ausdruck
x = -b/3 ± Ö(b²/9 - c/3)
erst gar nicht existiert.
Das ist dann der Fall, wenn der Radikand b²/9 - c/3 < 0 ist, also wenn b² < 3c ist.
Dann ist x = -b/3 ± Ö(b²/9 - c/3) Ï IR, f'(x) hat also keine Nullstelle und daher kann es weder Extrem- noch Sattelpunkt gebne.
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