| Autor |
Beitrag |
    
Labberduddel
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. November, 2000 - 15:50: | 
|
Hallo ich bin der Steffen und büffel gerade für die Matheklausur. Den Induktionsanfang habe ich hinbekommen, aber dann hänge ich komplett, hab keine Idee. Bitte Erläuterung zur Rechnung wenn es geht, Thanks.
Beweisen sie die Gültigkeit der Ungleichung
(a^n + b^n)/(a^(n+1) + b^(n+1))<= 2/(a+b)
n Element von N
für alle positiven reellen Zahlen a und b |
leo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. November, 2000 - 20:05: |
|
Das kann ein bißchen dauern. Probiere es bis dahin selber weiter, Du sagst, daß Du zumindest das Prinzip der vollständigen Induktion verstanden hast. Dies gehört allerdings ins Uni-Niveau! |
labberduddel
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. November, 2000 - 10:34: |
|
Hallo Leo, erläutere Dir kurz meinen Weg wie weit ich komme:
Induktionsanfang: n=1
(a+b)/(a^2+b^2)<=2/(a+b) [(a+b) mit * auf die linke Seite und (a^2+b^2) mit * auf die rechte S.]
(a+b)*(a+b)<=2*(a^2+b^2)
a^2+2ab+b^2<=2a^2+2b^2
2ab <=a^2+b^2
0 <=a^2-2ab+b^2
0 <=(a-b)^2 [somit bewiesen]
Induktionsvoraussetzung: n=n
(a^n+b^n)/(a^(n+1)+b^(n+1))<=2/(a+b)
a^(n+1)+a^n*b+b^n*a+b^(n+1)<=2a^(n+1)+2b^(n+1)
a^(n+1)+b^(n+1)<=2a^(n+1)-a^n*b-b^n*a+2b^(n+1)
Induktionsbehauptung: n=(n+1)
(a^(n+1)+b^(n+1))/(a^(n+2)+b^(n+2))<=2/(a+b)
(a^(n+1)+b^(n+1))*(a+b)<=(2a^(n+1)-a^n*b-b^n*a+
+2b^(n+1))*(a+b)
Nach ausmultiplizieren erhalte ich:
(a^(n+1)+b^(n+1))*(a+b)<=2*(a^(n+2)+b^(n+2))-
-b^n*a^2-a^n*b^2 [genau diese Zeile kann ich
nicht gebrauchen um auf den Beweis zu kommen] |
Go
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. November, 2000 - 22:30: |
|
Wie kommst Du bei Deinem Induktionsschritt auf folgende Zeile:
a^(n+1)+a^n*b+b^n*a+b^(n+1)<=2a^(n+1)+2b^(n+1)
?
Die ist nicht richtig in meinen Augen.
Go |
Labberduddel
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. November, 2000 - 19:32: |
|
Komme auf die Zeile durch die Multiplikation von
(a^n+b^n) * (a+b) |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. November, 2000 - 13:30: |
|
Musst du das mit VI beweisen? Ansonsten:
Für alle x > 0 gilt:
(x - 1) (xn - 1) >= 0
(Denn beide Faktoren sind entweder positiv oder negativ.)
Setze x = b/a und nimm die Ungleichung dann mit an+1 mal:
(b - a) (bn - an) >= 0
Das ist äquivalent zu
bn+1 - b an - a bn + an+1 >= 0
2 bn+1 + 2 an+1 >= b an + a bn + bn+1 + an+1
2 (an+1 + bn+1) >= (a + b) (an + bn)
(an+1 + bn+1) / (an + bn) >= (a + b) / 2
(an + bn) / (an+1 + bn+1) <= 2 / (a + b) |
labberduddel
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. November, 2000 - 16:37: |
|
Danke sagt der Steffen aus der Pfalz. Bei so toller Hilfe von euch kann ich die Matheklausur ja nur bestehen! |
Schlumpf
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. November, 2000 - 20:14: |
|
He Zaph ist das normal so etwas zu wissen. Wäre toll wenn jemand die Gültigheit mit der vollständigen Induktion beweisen könnte. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 18:20: |
|
Hi Schlumpf, das sieht nur so aus, als ob die Lösung vom Himmel fällt. In Wirklichkeit habe ich das, was bewiesen werden sollte, so lange umgeformt, bis sich eine offensichtlich wahre Aussage ergibt. Das habe ich dann nur andersrum aufgeschrieben.
Streng genommen muss
(x - 1) (xn - 1) >= 0 für x > 0
mit VI bewiesen werden.
Dann hast du deinen gewünschten Induktionsbeweis. |
