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Beitrag |
    
VANESSA
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 09:13: | 
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Ich habe hier eine Textaufgabe mit der ich totale Probleme habe. Ich würde gerne wissen wie man da vorangeht.
Errechne
a) keine Quadratische Funktion hat eine Wendestelle
b) jede ganzrationale Funktion 3. Grades hat genau 1 Wendepunkt
c) Jede ganzrationale Funktion 4.Grades hat entweder keinen oder 2 Wendepunkte
Danke Vanessa
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 323
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 10:49: |
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a) Quadratische Funktion Q(x) = a*x²+b*x+c
b) Kubische Funktion K(x) = a*x³+b*x²+c*x+d
c) Biquadratische Funktion B(x) = a*x4+b*x³+c*x²+d*x+e
Bilde von allen die 2te Ableitung f''(x) und versuche f''(x) = 0 nach x zu lösen.
(
nur reelle Lösungen können Wendepunkte sein.
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Astrid Sawatzky (sawatzky)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: sawatzky
Nummer des Beitrags: 51
Registriert: 01-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 10:55: |
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Liebe Vanessa,
ich zeig es Dir an b) die anderen kannst du dann bestimmt selber
also jede ganzrationale Funktion 3. Grades...
f(x) = ax^3+bx^2+cx+d mit a,b,c,d element von R
und a <> 0
hat genau einen Wendepunkt
Wendepunkt f''(x) = 0 und f'''(x)<>0
also erstmal allgemein ableiten:
f(x) = ax^3+bx^2+cx+d
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
f''(x) = 6ax +2b
f'''(x) = 6a
da a <> 0 folgt 6a <> 0 und damit ist f'''(x) immer ungleich null und unsere hinreichende Bedingung f'''(x)<>0 ist auf jeden Fall erfüllt
nun zur notwendigen Bedingung
f''(x) = 6ax +2b = 0
auflösen nach x
6ax=-2b
x= -2b/(6a) = -(2/3) * (b/a)
da wir von a wissen dass es nicht gleich 0 ist, kann b jeden beliebigen Wert annehmen und wir erhalten immer genau eine Lösung, die auch ein Wendepunkt ist, wie wir ja an der hinreichenden bedingung gezeigt haben.
ich hoffe das hilft
Gruß Astrid |
