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Peace
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Mai, 2002 - 16:49: | 
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Hi
Kann mir einer von euch diese Frage beantworten und netterweise das auch erklären.
Also: Kann man diese Funktion f(x)= ax^5 –bx^3 errechnen, so dass alle Nullstellen alle Extrema und alle Wendestellen rationale Zahlen sind! Beweisen sie ihre Antwort
Peace |
Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 450
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 01:22: |
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Es geht um die Wahl von a und b, so daß die Nullstellen der Funktion , sowie der ersten und zweiten Ableitung irgendwelche Brüche oder ganze Zahlen sind.
f(x)=x³(ax²-b)
f'(x)=x²(5ax²-3b)
f''(x)=x(20x²-6b)
f'''(x)=60x²-6b
f(x)=0 <=> x=0 oder x=±Ö(b/a)
f'(x)=0 <=> x=0 oder x=±Ö(3b/5a)
f''(x)=0 <=> x=0 oder x=±Ö(6b/20a)
Es ist nun darauf zu achten, daß die eben berechneten Stellen alle rational sind.
Folglich muß b/a 3b/5a und 3b/10a jeweils als Quadrat eines Bruches darstellbar sein. Dies ist aber nicht möglich,sofern b¹0.
Beweis : Angenommen 3b/5a = n²/m² mit ggT(n,m)=1
=> 3b/10a = n²/(2m²)
Wäre 3b/10a auch Quadrat einer rationalen Zahl,dann wäre n²/(2m²) = r²/s² => 2 = (ns)²/(rm)²
Da Ö2 bekanntlich nicht rational ist, ist diese Gleichung nie erfüllbar.
(Beitrag nachträglich am 19., Mai. 2002 von ingo editiert) |
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