| Autor |
Beitrag |
    
stefanie
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Mai, 2002 - 13:01: | 
|
1) Ein offener Kanal hat einen rechteckigen Querschnitt. Welche Form muss das Rechteck bei konstantem Flächeninhalt haben, damit die Betonierungsarbeiten möglichst geringe Kosten verursachen?
Meine Lösung: Es muss ein Quadrat sein.
2) Ein Fenster von der Form eines Rechtecks mit aufgesetzem Halbkreis hat den Umfang U. Wie sind die Abmessungen zu wählen, damit die Fläche möglichst groß wird.
Ich habe b für die Länge des Rechtecks (und gleichzeitig auch Durchmesser des Kreises) und a als Breite des Rechtecks gewählt.
Für b habe ich folgendes herausbekommen:
b= (-4U)/ (8*(-1+pi/2-pi))
Ist das richtig?!?
Wie lautet sonst die richtige Lösung und wie komme ich darauf? |
A.K. (akka)
Mitglied
Benutzername: akka
Nummer des Beitrags: 31
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Mai, 2002 - 10:10: |
|
Hallo Stefanie
Aufgabe 1
Seien a und b die Seiten des Rechtecks.
Dann gilt
A=a*b
Wichtig für die Betonierungsarbeiten sind die Seitenwände; also der Umfang.
Da der Kanal oben offen ist, gilt
U=a+2b (a = Boden des Kanals, b=Seiten)
Aus A=a*b => a=A/b
Also folgt mit U=a+2b
U(b)=(A/b)+2b
Ein Extremum erhälst du, wenn du die 1. Ableitung 0 setzt; also
U'(b)=(-A/b²)+2=0
<=> -A+2b²=0
<=> 2b²=A
<=> b²=A/2
=> b=Ö(A/2)
Mit 2. Ableitung U"(b)=2A/b³ folgt
U"(Ö(A/2))>0 => Minimum
Mit a=A/b folgt
a=A/(Ö(A/2))=Ö(2A)
Aufgabe 2:
U=p*(b/2)+b+2a
=> a=(U/2)-(pb/4)-(b/2)
Für den Flächeninhalt gilt
A=(1/2)p*(b/2)²+a*b
=> A(b)=(b²/8)p+b((U/2)-(pb/4)-(b/2))
A(b)=(b²/8)p+(Ub/2)-(b²/4)p-(b²/2)
A(b)=-(b²/8)p+(Ub/2)-(b²/2)
=> A'(b)=-(b/4)p+(U/2)-b
=> A'(b)=0
<=> -(b/4)p+(U/2)-b=0 |*(-4)
<=> bp-2U+4b=0
<=> b(p+4)=2U
<=> b=2U/(p+4)
=> a=(U/2)-(p/4)*(2U/(p+4))-U/(p+4)
a=U/(p+4)
Mfg K. |
|
