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Beitrag |
    
Stefanie
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Mai, 2002 - 13:01: | 
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Ein Trichter hat die Form eines oben offenen Kegels. Welchen Radius r und welche Höhe h muss der Kegel haben, damit sein Rauminhalt bei einer Mantellinie von 10cm Länge möglichst groß wrid?
Danke! |
Schuster (s_oeht)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 80
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Mai, 2002 - 14:02: |
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V(r,h)=pi/3*r^2*h
sei nun x=r, dann ergibt sich h zu:
h=sqrt(s^2-x^2)
V(x)=pi/3*x^2*sqrt(s^2-x^2)
V'(x)=-1/3*pi*x*(-2*s^2+3*x^2)/(s^2-x^2)^(1/2)=0
x1=0 x2=1/3*sqrt(6)*s x3=-1/3*sqrt(6)*s
x1 und x3 entfallen
V''(x2)=-4/3*s^2*3^(1/2)/(s^2)^(1/2)*pi<0
MfG Theo |
J
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Mai, 2002 - 14:07: |
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Ziefunktion: V = (1/3)*pi*r²*h
(dabei ist r der grundkreisradius und h die höhe
Nebenbedingung:
r²+h²= 100 (pythagoras)
also r²= 100-h²
In zielfunktion einsetzen:
V(h)= (1/3)*pi *(100-h²)*h
Mit c= pi/3 wird darus:
V(h)= c*(100h-h³)
Nach h ableiten:
V'(h) = c*(100-3*h²)
Nullstellen davon:
V'(h)= 0 <=> 100 = 3h²
<=> h= wurzel(100/3) = 10/wurzel(3)
Zweite ableitung: V''(h) = -c*6*h < 0 für alle positiven h.
Demnach ist das volumen für h= 10/wurzel(3) maximal.
Gruß J
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