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stefanie
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Mai, 2002 - 12:59: | 
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1) Der Querschnitt einer Rinne ist ein Rechteck mit unten angesetztem Halbkreis. Wie sind die Abmessungen zu wählen, damit bei vorgeschriebenem Querschnitt F der Materialverbrauch möglichst gering wird?
2) Ein Gefäß besteht aus einem oben geschlossenem Zylinder mit unten angesetzer Halbkugel. Der Rauminhalt soll bei vorgegebenem Oberflächeninhalt ein Maximum annehmen. |
stefanie
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Mai, 2002 - 12:41: |
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Kann mir vielleicht irgendwer zumindest bei der ersten Aufgabe helfen?!?
Danke im voraus! |
A.K. (akka)
Mitglied
Benutzername: akka
Nummer des Beitrags: 38
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Mai, 2002 - 08:58: |
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Hallo Stefanie
1) Seien 2r und a die Rechteckseiten, wobei r der Radius des Halbkreises ist.
Dann gilt für den Flächeninhalt der Querschnittsfläche
F=a*2r+0,5*p*r²
<=> 2ar=F-0,5pr²
<=> a=(F-0,5pr²)/2r
Für den Materialverbrauch ist die Länge der Seitenwände entscheidend.
M=2a+pr
M(r)=2(F-0,5pr²)/2r+pr
M(r)=F/r-0,5pr+pr
M(r)=F/r+0,5pr
=> M'(r)=-F/r²+0,5p=0
<=> r²=F/(0,5p)
=> r=Ö(F/(0,5p))=Ö(0,6366F)
Mit 2.Ableitung auf Minimum überprüfen
a=(F-0,5p*0,6366F)/2*Ö(0,6366F)=0
Somit besteht die Rinne nur aus einem Halbkreis.
Anmerkung:
Ich bin davon ausgegangen, dass die Rinne oben offen ist, muss sie vielleicht geschlossen sein?
2)Sei r der Radius der Halbkugel und h die Höhe des Zylinders.
Dann gilt für die Oberfläche
O=pr²+2prh+2pr²
<=> O=3r²p+2rhp
<=> O-3r²p=2rhp
<=> h=(O-3r²p)/(2rp)
Für das Volumen gilt
V=pr²h+(2/3)pr³
V(r)=p[r²*(O-3r²p)/(2rp)+(2/3)r³p]
<=> V(r)=(1/2)Or-(5/6)pr³
=> V'(r)=(1/2)O+(5/2)pr²=0
=> r=Ö(2*O/15p)=Ö(0,04244*O)
Mit 2.Ableitung prüfen.
h=(O-3*0,04244*Op)/(2Ö(0,04244*O)p)
h=0,4635*O
Hoffe, das stimmt so.
Bitte nachrechnen.
Mfg K. |
stefanie
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Mai, 2002 - 15:12: |
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Danke!
Nur glaube ich, dass bei 2) etwas verkehrt ist...
V'(r) müsste doch
(-15*pi*r²)/6 + O/2 sein!
Wenn es vorher negativ ist, kann es doch nicht plötzlich positiv werden, oder?!?
Ich habe deshalb folgendes heraus:
r= Wurzel aus (O/(5*pi))
Ist das richtig? |
A.K. (akka)
Mitglied
Benutzername: akka
Nummer des Beitrags: 41
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Mai, 2002 - 21:04: |
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Hallo Stefanie
du hast recht. Die 1. Ableitung lautet richtig:
V'(r)=O/2-(15pr²/6)
V'(r)=O/2-(5/2)pr²=0
<=> O/2=(5/2)pr² |*2
<=> O=5pr² |:5p
<=> r²=O/(5p
=> r=Ö(O/(5P))
Somit müsste deine Lösung stimmen.
Mfg K. |
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