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max
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Mai, 2002 - 21:26: | 
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Hallo.
Ich muss diese Aufgabe lösen, weiß jedoch nicht wie.
Aufgabe:
In einen Kreiskegel mit r=30 cm und h=80cm soll ein zylinder max. volumens einbeschrieben werden. wie sind seine höhe h und sein radius r zu wählen?
Wär nett, wenn mir schnellstmöglich jemand helfen könnte.
max |
A.K. (akka)
Mitglied
Benutzername: akka
Nummer des Beitrags: 19
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Mai, 2002 - 06:58: |
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Hallo Max
sei R=30cm und H=80cm (Werte für Kegel) und
r und h Radius bzw. Höhe des Zylinders.
Für das Volumen des Zylinders gilt:
V=pr²*h
Die Nebenbedingung ergibt sich mit dem Strahlensatz:
H/R=(H-h)/r
<=> rH=R(H-h)
<=> r=R(H-h)/H
Zahlen einsetzen: r=30(80-h)/80=3/8*(80-h)
eingesetzt in die Hauptbedingung V=pr²h folgt
V(h)=p((3/8)(80-h))²*h
=(9/64)p(80-h)²*h
=> V'(h)=(9/64)p(2(80-h)*(-1)*h+(80-h)²)
=(9/64)p(-2h(80-h)+(80-h)²)
V soll maximal werden; also
V'(h)=0
<=> -2h(80-h)+(80-h)²=0
<=> -160h+2h²+6400-160h+h²=0
<=> 3h²-320h+6400=0 |:3
<=> h²-(320/3)h+(6400/3)=0
=> h1,2=160/3±Ö(160²/9-6400/3)
=160/3±80/3
=> h1=(160+80)/3=80 und h2=(160-80)/3=80/3
Mit 3.Ableitung überprüfen, ergibt
Maximum bei h=80/3 cm.
Wegen r=(3/8)(80-h) folgt
r=(3/8)(80-80/3)=20cm
Mfg K. |
Max
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Mai, 2002 - 10:47: |
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Vielen Dank für deine Lösung. Hast mir wirklich sehr geholfen.
Max |
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