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max. Volumen eines kreiskegels

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klasse 11 » Differentialrechnung » Extremwertaufgaben » Optimierung » max. Volumen eines kreiskegels « Zurück Vor »

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steve
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 10. Mai, 2002 - 21:24:   Beitrag drucken

Hallo.

Meine Aufgabe: Welcher Kreiskegel mit vorgegebener Seitenlänge s hat ein maximales Volumen? Bestimme seine Höhe h und seinen Radius r.

Wär nett, wenn mir jemand helfen könnte.
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A.K. (akka)
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Mitglied
Benutzername: akka

Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 11. Mai, 2002 - 07:09:   Beitrag drucken

Hallo Steve

für das Volumen eines Kegels gilt:
V=(1/3)*p*r²*h

Höhe, Radius und Seitenlinie bilden ein rechtwinkliges Dreieck;
also gilt mit Pythagoras
s²=r²+h² <=> r²=s²-h²
Dies setzen wir in die Formel oben ein; also
V(h)=(1/3)p*(s²-h²)*h
Ableitung bilden:
V'(h)=(1/3)p(-2h*h+s²-h²)
V'(h)=0
<=> (1/3)p(s²-3h²)=0
<=> s²-3h²=0
<=> 3h²=s²
<=> h²=s²/3
=> h=(1/3)sÖ3
(mit 2. Ableitung überprüfen)
Für r gilt nun r²=s²-s²/3=(2/3)s²
und damit r=sÖ(2/3)

Mfg K.
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Steve
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 11. Mai, 2002 - 10:44:   Beitrag drucken

Danke für die Antwort.

mfg

Steve

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