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Beitrag |
    
Johannes
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Mai, 2002 - 11:28: | 
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1) Die Parabeln zu f1(x)=x² und f2(x)=-x²+6 schließen eine Fläche ein. In diese Fläche wird ein Rechteck so gelegt, dass die Rechteckseiten parallel zu den Achsen des Koordinatensystems verlaufen. Welche Koordianten müssen die Eckpunkte des Rechtecks haben, damit der Flächeninhalt des Rechtecks ein absolutes Maximum annimmt?
2) Gegeben ist eine Parabel durch 12-a²x² mit a>0. In die Fläche, die die Parabel mit der x-Achse anschließt, wird ein Rechteck so eingezeichnet, dass eine Rechtecksseite auf die x-Achse fällt und die Eckpunkte P1 und P2 auf dem Graphen von f liegen. Welche Koordinaten müssen die Eckpunkte des Rechtecks haben, damit die Rechtecksfläche ein absolutes Maximum annimmt? |
Schuster (s_oeht)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 55
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Mai, 2002 - 13:48: |
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1)
A(x)= 2*x*(f2(x)-f1(x))
= -4x^3+12x
A'(x)=-12x^2+12=0
x=1 (neg. lösung entfällt)
2.
A(x)=2*x*f(x)=24x-2a²x^3
A'(x)=24-6*a^2*x^2=0
x=2/a (neg. lösung entfällt) |
johannes
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Mai, 2002 - 13:40: |
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Kannst du das vielleicht noch einmal genauer (und mit Kommentaren) erklären? Ich verstehe das so nämlich absolut nicht! |
A.K. (akka)
Mitglied
Benutzername: akka
Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Mai, 2002 - 09:07: |
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Hallo Johannes
mach dir eine Skizze.
f1(x)=x² ist eine nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S1(0|0)
f2(x)=-x²+6 ist eine nach unten geöffnete Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S2(0|6)
Beide Parabeln sind also symmetrisch zur y-Achse.
Ihre gemeinsame Fläche liegt oberhalb der x-Achse.
Schnittpunkte der Parabeln ergeben sich aus:
x²=-x²+6 <=> 2x²=6 <=> x²=3 => x1=Ö3 und x2=-Ö3
Somit liegt das gesuchte Rechteck im Intervall
-ö3<x<Ö3
Sie nun A(u|f1(u)) ein Punkt auf f1 im 1. Quadranten und B(u|f2(u)) ein Punkt auf f2 im 1. Quadraten.
Dann bildet die Strecke AB eine Seite des Rechtecks.
Wegen der Symmetrie zur y-Achse gilt weiterhin
C(-u|f2(-u)) und D(-u|f1(-u))
AD ist damit die zweite Seite des Rechtecks.
Für den Flächeninhalt des Rechtecks folgt somit:
F=AD*AB
Länge AD=u-(-u)=2u
Länge AB=f2(u)-f1(u)=-u²+6-u²=-2u²+6
und damit
F(u)=2u*(-2u²+6)=-4u³+12u
F'(u)=-12u²+12=0
<=> 12u²=12
<=> u=1 oder u=-1
Wegen F"(u)=-24u folgt f"(1)=-24<0> Max
und F"(-1)=24>0 => Min
Also ist u=1
=> A(1|f1(1))=(1|1)
B(1|f2(1))=(1|5)
C(-1|5) und D(-1|1) sind die Koordinaten der
Eckpunkte des Rechtecks.
Mfg K.
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johannes
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Mai, 2002 - 13:24: |
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Danke - ich glaube, das hilft mir weiter! Ansonsten melde ich mich noch mal.. |
