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Beitrag |
    
Julia Gabruk (Julchen)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. November, 2000 - 13:56: | 
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Hallo,
kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?
4-4x^2-y^2 = 2xyy'
Danke |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. November, 2000 - 21:45: |
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Hi Julia,
Vorerst das Resultat:
Die allgemeine Lösung Deiner DGl. lautet
y ^ 2 = k / x - 4 /3 * x ^ 2 + 4 ,
k ist eine Integrationskonstante
Die Auflösung nach y ergibt zwei Lösungszweige
(plus / minus wurzel...)
Herleitung
Substitution y ^ 2 = u ; 2 y y ' = u ' , eingesetzt:
4 - 4 x ^2 - u = x u ' (inhomogene DGl.für u)
homogene Gl,:
x u' + u = 0
allgemeine Lösung durch Trennung der Variablen aus
du / u = - dx / x , also:
u = k / x
Ansatz für eine Lösung der inhomogenen Gleichung:
u = a x ^2 + bx + c , also u' = 2 a x + b
Alles eingesetzt in die inhomogene Gl. ergibt:
4 - 4 x ^ 2 = ax^2 + bx + c + 2ax^2 + bx = 3ax^2 +2bx+c
Der Koeffizientenvergleich liefert: 3a = - 4, also a = - 4/3,
b= 0 , c = 4
Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung
lautet somit:
u = - 4 / 3 x^2 + 4.
Diese spezielle Lösung wird zur allgemeinen Lösung
der homogenen addiert (Ueberlagerung).
Macht man die Substitution rückgängig, so erscheint
die anfangs erwähnte Lösung
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Julia (Julchen)
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. November, 2000 - 21:32: |
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Danke für Deine Hilfe! |
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