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Nelly
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Mai, 2002 - 16:58: | 
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Bitte helft mir beim Lösen dieser Aufgabe!
Gegeben ist die Funktion f durch y=f(x)=x²-6x+8/x²-6x+5
a)Bei dieser Aufgabe bräuchte ich noch die lokalen Extrempunkte bzw. die zweite Ableitung.Und die Asymptote (Ich habe nur eine bei y=1, denke aber das es noch weitere gibt)
b)Im Punkt P(o;f(0)) wird die Tangente an den GRaphen von f gelegt. Geben sie die Gleichung der Tangente an. Diese Tangente shneidet den Graphen der Funktion in einem weiteren Punkt Q. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes Q!
c)die punkte P(0;f(0), R(6;f(6)) und H(3;1/4) sind Eckpunkte des Dreiecks. Berechnen Sie Flächeninhalt und Umfang!
d) Der Graph einer quadratischen Funktion q mit der Gleichung q(x)= ax²+bx+c berührt den graphen von f in den Punkten P und R (aus Teilaufgabe c)
Bestimmen sie die Gleichung von q!
Danke |
A.K.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 09:56: |
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Hallo Nelly
a) f(x)=(x²-6x+8)/(x²-6x+5)=1+[3/(x²-6x+5)
=> Asymptote: y=1
Wegen x²-6x+5=0 <=> (x-1)(x-5)=0
ist der Nenner für x=1 und x=5 nicht definiert.
Für x=1 und z(x)=x²-6x+8 folgt z(1)=1-6+8=3
unf für x=5 folgt z(5)=25-30+8=3
d.h. die Nullstellen des Nenners sind nicht gleichzeitig Nullstellen des Zählers.
Damit hat die Funktion für
x=1 und x=5 Polstellen und damit senkrechte
Asymptoten x=1 und x=5.
Ableitungen: (mit Quotientenregel)
f'(x)=[(2x-6)(x²-6x+5)-(x²-6x+8)(2x-6)]/(x²-6x+5)²
=[(2x-6)(x²-6x+5-x²+6x-8)]/(x²-6x+5)²
=-3(2x-6)/(x²-6x+5)²
f"(x)=-3[2(x²-6x+5)²-(2x-6)*2(x²-6x+5)(2x-6)]/(x²-6x+5)4
=-3[2(x²-6x+5)-2(2x-6)]/(x²-6x+5)³
=-3[2x²-12x+10-4x+12]/(x²-6x+5)³
=-3(2x²-16x+22)/(x²-6x+5)³
=-6(x²-8x+11)/(x²-6x+5)³
Extrema: f'(x)=0
<=> -3(2x-6)/(x²-6x+5)²=0
<=> 2x-6=0
<=> 2x=6
<=> x=3
Wegen f"(3)<0 hat die Funktion für x=3 ein Maximum.
b)P(o|f(0)) mit f(0)=(0²-6*0+8)/(0²-6*0+5)=8/5
=> P(0|8/5)
Wegen f'(0)=-3(2*0-6)/(0²-6*0+5)²=18/25 hat die Tangente in P die Steigung 18/25
Insgesamt folgt:
y=(18/25)x+(8/5) ist die Gleichung der Tangente.
Schnittpunkt Tangente und Funktion:
(x²-6x+8)/(x²-6x+5)=(18/25)x+(8/5)
=> x=0 oder x=31/6
Mit f(31/6)=133/25 gilt Q((31/6)|(133/25))
c) P(0|(8/5)); R(6|(8/5)); H(3|(1/4))
=> Dreieckshöhe=8/5 und Grundseite (PR)=6
=> mit A=g*h/2
A=6*(8/5)/2=24/5
Umfang=|PR|+|RH|+|PH|
Wegen |Rh|=|PH| folgt U=|PR|+2|PH|
|PH|²=(0,5*|PR|)²+h²=3²+(8/5)²=9+(64/25)=289/25
=> |PH|=17/5
=> U=6+2*(17/5)=6+(34/5)=64/5
d) q(x)=ax²+bx+c => q'(x)=2ax+b
P liegt auf q: 8/5=c
R liegt auf q: 8/5=36a+6b+c
q und f haben gleiche Steigung in P: f'(0)=q'(0)
<=> 18/25=b
q und f haben gleiche Steigung in R: f'(6)=q'(6)
<=> -18/25=12a+b
Insgesamt folgt also
c=8/5; b=18/25 und a=-3/25 und damit
q(x)=-(3/25)x²+(18/25)x+(8/5)
Mfg K. |
Nelly
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 17:46: |
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Vielen Dank. Hast mir sehr geholfen! |
