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Sabi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Mai, 2002 - 00:02: | 
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Hallo.
Kann mir vielleicht jemand mit dieser Aufgabe helfen?
da ich am Montag eine Arbeit schreibe, habe ich mal ein paar Aufgaben aus dem Buch gerechnet. mit den meisten bin ich auch gut zurechtgekommen, aber wie geht folgende Aufgabe??
Gegeben sind die Funktionen f und g it f(x)= x²- 4x +6 und g(x)= -x² +2x. Zeigen sie, dass für alle x € R die Bedingung f(x) > g(x) gilt.
Bestimmen sie die Stelle, an der die Differenz der Funktionswerte d(x) = f(x)- g(x) am kleinsten ist.
Also ich gebe es ehrlich zu, ich habe keine Ahnung, was ich da jetzt machen muss, außer vielleicht mal ableiten? Wie komme ich dann überhaupt auf die Differenz?
Über eine Lösung und Erklärung würde ich mich echt freuen.
Viele Grüße
Sabi |
ep0y
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Mai, 2002 - 03:12: |
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Gehe davon aus, dass die Beh. gilt.
x²- 4x +6 > -x² +2x |+x²-2x
<=> 2x² - 6x + 6 > 0 |:2
<=> x² - 3x + 3 > 0 |-0.75
<=> x²-2*1.5x + 1.5² > -0.75
<=> (x - 1.5)² > -0.75
diese Rechnung hat weiter keine Bedeutung, sie hat nur den für die folgende Rechnung hilfreichen Anhaltspunkt geliefert.
Hier der Beweis, dass f(x) > g(x):
dazu rückwärts, dabei von 0 ausgehen:
für alle x€IR ist das Quadrat (x - 1.5)² nie negativ:
(x - 1.5)² ³ 0
=> x² - 3x + 2.25 ³ 0 |+0.75
=> x² - 3x + 3 ³ 0.75 , und 0.75 > 0, also:
=> x² - 3x + 3 > 0
=> x² - 3x + 3 > 0 |*2
=> 2x² - 6x + 6 > 0 |-x²+2x
=> x² - 4x + 6 > -x² + 2x
=> f(x) > g(x)
d(x) = f(x)- g(x) = x²- 4x +6 - (-x² +2x) = 2x²-6x + 6
d'(x) = 4x - 6
d''(x) = 4 > 0 => d(x) hat ein Minimum für das x, wo d'(x)=0 ist
d'(x)= 0 => 4x-6 = 0 => 4x = 6 => x=1.5
An der Stelle x=1.5 ist Differenz der Funktionswerte d(x) = f(x)- g(x) am kleinsten.
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Sabi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Mai, 2002 - 09:49: |
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Danke.
Könnte mir vielleicht noch jemand den allgemeinen Vorgehensweg bei solchen Aufgaben erklären?
Zwar sit jede Aufgabe anders, aber vielleicht gibt es ja doch ein paar Anhaltspunkte, die ich mir merken könnte....??
Vielen Dank
Gruß
Sabi
PS: Auch vielen Dank für die Aufgabe ep0y |
ep0y
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Mai, 2002 - 23:02: |
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du meinst bei Extremwertaufgaben?
Meine Empfehlung:
Suche im Aufgabentext nach einem Superlativ.
Beispiele: "... soll maximal werden", "... soll minimal werden", "gesucht ist derdiedas größte...", ".. kleinste", usw.
Das Substantiv, auf das sich dieses Adjektiv bezieht, ist (meistens) die Größe, deren Extremalwert gesucht ist.
Die hängt irgendwie mit den Gegebenheiten der Aufgabe zusammen:
z.B. ist diese Größe
- ein Volumen, dann ist es naheliegend, eine Volumenformel für den betreffenden Körper zu suchen und zu verwenden,
- eine Oberfläche, dann die entspr. Formel
- eine Länge ...
...
Die Formel, die du dann aufgestellt hast, nennt sich Extremalbedingung (kurz EB)
oft ist die zu extremalisierende Größe von mehreren Variablen abhängig, z.B. einem Radius, einer Körperhöhe, einer sonstigen Kantenlänge etc.:
V(r,h) = ...
O(r,h) = ...
...
Aus dieser Exrtemalbedingung müssen soviele Variablen herausgeworfen werden, bis nur noch eine unabhängige Variable in der Formel drin steht:
z.B. aus
V(r,h) mach V(r) oder aus
V(r,h) mach V(h)
aus A(a,b) mach A(a)
wie kann die Variable herausgeworfen werden?
Mit einer zweiten Bedingung, die im Aufgabentext vorgegeben sein muss.
Manchmal hat diese Bedingung etwas mit einem im Aufgabentext angegebenen Zahlenwert zu tun.
Diese Bedingung heißt Nebenbedingung (NB), stelle sie nach einer der Variablen um und setze diese in die EB ein.
Du brauchst immer eine NB weniger, wie unabhängige Variablen in der EB auftreten:
Ist die Anzahl der Variablen in der EB gleich n, ist die Anzahl der nötigen NB gleich n-1.
Also z.B. bei EB: V(r,h)=maximal
brauchst du eine NB, die nach r oder nach h umgestellt wird, um sie in die EB einzusetzen.
Wäre z.B. V(a,b,h)=maximal, wären zwei Nebenbedingungen erforderlich, um aus der Extremalbedingung eine Funktion von einer unabhängigen Variablen zu machen.
In deinem Fall oben war gar keine zweite unabhängige Variable in der Extremalbedingung
"Differenz der Funktionswerte d(x) = f(x)- g(x) am kleinsten", daher musste auch keine Nebenbedingung gesucht werden: die Anzahl der Variablen in der EB ist gleich 1, die Anzahl der nötigen Nebenbedingungen ist 1-1 = 0.
schließlich kommst du nach dem Einsetzen aller NB in die EB auf eine Funktion einer Veränderlichen, die sogenannte Zielfunktion (ZF).
Von ihr ist nun ein Extremum gesucht, also ein Minimum oder Maximum.
Wie du Extrema finden kannst, weißt du?
Die erste Ableitung der Zielfunktion gleich Null setzen und nach der unabhängigen Variablen auflösen. (also die Nullstellen der ersten Ableitung der ZF berechnen)
(weiter ggf. die (jede) Nullstelle der ersten Ableitung der ZF durch Einsetzen in die zweite Ableitung der ZF daraufhin überprüfen, ob ein Max., Min. oder keines von beiden vorliegt)
In deiner Aufgabe hier ist die ZF:
d(x) = f(x)- g(x) = 2x²-6x + 6
von deren erster Ableitung die Nullstelle(n) bestimmt wurde(n).
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Sabi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Mai, 2002 - 14:56: |
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Hi.
Tausend Dank für die super Erklärung.Ich bin in der tat kein Mathegenie und freue mich stets über solche Tips.
Gruß
Sabi
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