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Firefly
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. November, 2000 - 13:53: | 
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ich habe etwas mühe mit solchen Aufgaben, weil ich nie weiss, wie ich anfangen muss. Könnte mir da jemand einen Tipp geben, wie ich beim Lösen einer Extremalaufgabe vorgehen muss??!!
Vielen DAnk! |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. November, 2000 - 15:34: |
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Bei Extremwertaufgaben gibt es immer folgendes:
Eine Zielfunktion, deren Wert maximiert/minimiert werden soll.
Eine Nebenbedingung, die die Wahl der Variablen in der Zielfunktion beschränt.
Einfaches Beispiel: Mit einer vorhandenen Rolle Zaun (darauf sind 50 m) soll ein möglichst großes Stück Land rechteckig eingezäunt werden.
Zielfunktion ist die eingezäunte Fläche. Die Fläche eines Rechtecks ist F=x*y, also x und y die Seitenlängen des Rechtecks.
Die Nebenbedingung ist, daß nur 50m Zaun da sind. Um ein Rechteck mit Seitenlängen x und y einzuzäunen braucht man 2x+2y Meter Zaun (also den Umfang des Rechtecks).
Nun könnte man versuchen Lösungen zu raten.
Mit x=5 und y=20 benötigt man genau 2*20+2*5=50m Zaun und die Fläche ist 5*20=100m2.
Man kann noch weiter raten, aber nun gibt die Differentialrechnung ein Methode die Lösung auszurechnen.
Stelle die Funktion der Fläche in Abhängigkeit von x auf: F(x) = x * y = x * ( 50 - 2x) /2
Mit der Ableitung F'(x) findet man (evtl) einen Extrempunkt. Das kann nun ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum sein. Durch das Vorzeichen der zweiten Ableitung an der Stelle des lokalen Extremums erfährt man, ob es ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum ist.
Und dann? Dann muß man noch beachten, daß es sich um ein lokales Maximum handelt. Das heißt, es könnte an den Rändern des Definitionsbereiches von x noch kleinere oder größere Werte geben. Man muß also die Ränder noch extra untersuchen.
Im Beispiel ist xe[0,25] der Definitionsbereich.
Aber sowohl für für x=0, als auch für x=25 ist dann die Fläche 0.
Hast Du konkrete Fragen oder Aufgaben?
Gruß
Matroid |
niels
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. November, 2000 - 15:49: |
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Hallo Firefly,
grundsätzlich muß man solche Aufgaben nüchtern betrachten.
Wenn man sich solche Aufgaben, die meist als Textaufgaben formuliert sind, anschaut sollte man das tun was man bei Textaufgaben immer tun sollte:
1) Man sollte sich fragen, was gegeben und was gesucht ist.
Dies sollte man dann mathematisch formulieren.
Bei Extremwertaufgaben stellt das gegebene die sog. "nebenbedingung" da.
das, was gesucht ist stellt die sog. "Zielfunktion" da.
Hat man erstmal die Zielfunktion, die meist aus mehreren von einander unabhängigen Variablen besteht und die Nebenbedingungen, die die voneinander unabhängigen Variablen in beziehungen stellen, formuliert ist der Rest einfach.
du setzt die Nebenbedingungen in die Ziehlfunktion so ein, das du eine Funktionsgleichung mit nur einer abhängigen Variable bekommst.
Und der weitere Rechenweg ist identisch mit der kurvendiskussion!
D.h. du bildest die 1.+ 2.Ableitung setzt die erste Ableitung gleich Null und die 2. Ableitung kleiner Null, löst die Gleichung, prücfst ddas ergebnis am vorher diffinierten Diffinitionsbereich und an der 2-ten Ableitung,
setzt die ergebnisse in die Nebenbedingungen ein und erreechnest das Gesuchte.
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Gruß Niels |
Firefly
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. November, 2000 - 17:55: |
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vielen DAnk für die ausführlichen Erklärungen!!! |
ein Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. März, 2001 - 20:11: |
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ähhmm ja alles klar aber was ist wenn der lehrer wie in meinen Fall statt numerischer werte in dem aufgabentext so etwas wie >0 angibt kann ich mir dann selber einen wert aussuchen oder wie? |
Ysanne (Ysanne)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. März, 2001 - 11:57: |
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Dann nennst du diesen Wert a oder sonst einen noch freien Buchstaben, und rechnest mit ihm wie mit einer Zahl.
Bei der Zaun-Aufgabe z.B. hast du a Meter Zaun, und dann geht es genauso wie in Matroids Beispiel, nur daß du statt 50 immer a schreibst. |
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