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Beitrag |
    
kristin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. April, 2002 - 18:29: | 
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Hallo,
ich habe folgende Aufgabe zu lösen:
Die Punkte A, B, C bilden ein Dreieck. Wähle den Punkt M so, dass MA, MB und MC möglichst kurz sind.
Mein Ansatz:
Die Punkte werden durch mX, mY,...(aX, Ay) angegeben.
MA, MB, MC irgendwie durch die Seiten AB, BC, CA ausdrücken, da diese Werte gegeben sind.
Danach von der erhaltenen Funktion die 1. Ableitung bilden - die errechneten Werte wären dann die Koordinaten für M.
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich MA, MB, MC durch AB, AC, CB ausdrücken kann? |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 226
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. April, 2002 - 21:29: |
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Eine interessante Aufgabenstellung!
Aber
was wirklich soll nun möglist kurz sein?
Es läßt sich immer eine der Strecken auf Kosten der anderen kürzer ( bis zu 0 ) machen.
1445-182@onlinehome.de |
kristin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. April, 2002 - 22:15: |
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Die Summe der drei Strecken MA, MB, MC soll möglichst klein sein.
Weißt denn hier niemand, wie ich MA, MB, MC durch AB, AC, CB ausdrücken kann? |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 231
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. April, 2002 - 14:50: |
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Nun, da hilft Pythagoras:
für
den Abstand d zweier Punkte gilt
d² = dx²+dy²
wobei
dx,dy die Differenzen der x bzw y Koordinaten der beiden Punkte sind.
Ich
schreibe w() für Wurzel(),
X,Y für die x,y Koordinaten des Punktes M.
Die
zu minimierende Summe ist also
S(X,Y) = dA+dB+dC
=
w([X-xA]²+[Y-yA]²)+w([X-xB]²+[Y-yB]²)+w([X-xC]²+[Y-yC]²)
das
muss nun nach X differenziert werden,
und ein
Minimum gefunden werden, das Y noch als Parameter enthält,
das
dann nach Y differenziert werden muss um das
wirkliche Minimun zu finden.
Das
ist allerdings eine sehr umständliche Rechnung.
Die
Punkte für die die Summe der Abstände von 2 Punkten minimal ist liegen auf der Streckensymetrale dieser Punkte, wie eine Einfache Rechnung zeigt.
S(X,Y)
erreich allerdings auch dann ein Minimum
wenn
2*S(X,Y) eines erreicht,
also
z.B da+db+dc
mit
da=dB+dC also die Summe der Abstände von den Endpunkten der im Index a genannten 3eckSeite,
und
dieses 2*S(X,Y) ist auch dann minimal
wenn
die da, db, dc unabhängig voneinander minimal sind.
Da
dies Bedingung für alle 3 3ecksSeiten nur auf
den jeweiligen Streckensymetralen erfüllt ist,
ist
also der Umkreismittelpunkt der gesuchte Punkt.
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Rechnung für 2 Punkte im Abstand a,[ A = (0 | 0), B = (a | 0) ],
Summe s der Abstände zu einem Punkt (x | d) mit fest vorgegebenem d.
s(x) = w(d²+x²) + w([a-x]²+d²)
s'(x) = x/w(x²+d²) - (a-x)/w([a-x]²+d²) = 0
x²{[a-x]²+d²} = (a-x)²(x²+d²)
x²d² = d²(a-x)²; d²(a²-2ax)=0; x = a/2
(Beitrag nachträglich am 29., April. 2002 von friedrichlaher editiert) |
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