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Optimierung einer Dose

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klasse 11 » Differentialrechnung » Extremwertaufgaben » Optimierung » Optimierung einer Dose « Zurück Vor »

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Tom
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 28. April, 2002 - 12:08:   Beitrag drucken

Hi!

Wer kann mir bei dieser Aufgabe weiterhelfen:
Es sollen zylinderförmige Dosen mit dem Volumen V hergestellt werden. Wie sind r und h zu wählen, damit die gesamte Naht aus Mantellinie, Deckelrand und Bodenrand minimal wird?

V=pi*r^2*h M=2*2pi*r+h

=> M(r)= 4pi*r +V/(pi*r^2)

So weit, so gut(hoffentlich). Aber wie leite ich diesen Term ab?

Danke für eure Hilfe!
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 229
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 28. April, 2002 - 21:46:   Beitrag drucken

ich habe die Herleitung von M(r) nicht überprüft;
die
Ableitung nach r ist M'(r)=4*pi-2*V/(pi*r3)

( nach der Formel (xn)'= n*xn-1,
wobei hier x -> r, n -> -2 gilt
)
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A.K.
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 28. April, 2002 - 21:53:   Beitrag drucken

Hallo Tom

sieht doch gut aus.

Nun die Ableitungen bilden:
M'(r)=4pi-(2V)/(pi*r³)
M"(r)=+6V/pi*r4

M'(r)=0
<=> 4pi-(2V)/(pi*r³)=0 |*(pi*r³)
<=> 4*pi²*r³-2V=0 |+2V
<=>4*pi²*r³=2V | : (4*pi²)
<=> r³=2V/(4*pi²) |dritte Wurzel
=> r=³Ö(V/(2*pi²))

Jetzt noch mit der 2. Ableitung auf Minimum prüfen.

Mfg K.
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Tom
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 29. April, 2002 - 14:22:   Beitrag drucken

Danke für eure Hilfe!
Aber könntet ihr mir noch einmal erklären, wie diese Ableitung hier zustande kommt - ich glaube, ich habe einfach ein Problem mit den Variablen, mir ist nicht klar, welche als Konstante betrachtet wird und welche nicht. Ich weiß, die Ableitung von 1/x lautet -1/x^2.
Warum heißt es hier -2v/(pi*r^3)?}
Woher diese zwei?}

Habt noch Geduld mit mir, irgendwann werde ich es schon noch kapieren!
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Pixelterror
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Mai, 2002 - 08:21:   Beitrag drucken

Die -2 kommt aus dem Quadrat von dem r, welches im Nenner steht! Gegeben hast du V/(pi*r²)! Dies ist ja nichts anderes als (V/pi)*r^-2! V/pi ist hierbei eine Konstante und bleibt somit in der Ableitung unverändert stehen! r^-2 abgeleitet ist
-2*r^-3und das ist ja nichts anderes als -2/(r³) nun setzt du vor diese Ableitung noch deine konnstante V/pi und erhälst genau deine Lösung
-2V/(pi*r³)! Gruss Pixelterror

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