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Judith (elfenlicht)
Neues Mitglied
Benutzername: elfenlicht
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. April, 2002 - 13:46: | 
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hallo! ich benötige hilfe bei der folgenden aufgabe: die punkte A(-u/0), B(u/0), C(u/f(u)) und C(-u/f(-u)), 0<=(kleinergleich)u<=3, des graphen von f mit f(x)=-x²+9 bilden ein rechteck. für welches u wird der flächeninhalt(umfang)des rechtecks ABCD maximal? wie groß ist der maximale inhalt(umfang)?
wäre wirklich toll, wenn mir jemand helfen könnte! ich wäre ihm unendlich dankbar! |
Konno (grafzahl22)
Junior Mitglied
Benutzername: grafzahl22
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. April, 2002 - 16:25: |
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Hallo !
Für den Flächeninhalt des Rechtecks
gilt wegen der Symmetrie des Rechtecks
bezüglich der y-Achse folgende Formel :
F = 2*u*f(u)
Für f(u) gilt aber folgende Formel :
f(u) = -u^2 + 9
Einsetzen ergibt :
F = 2*u*(-u^2 + 9)
= -2*u^3 + 18*u
Wir betrachten die Formel
F = -2*u^3 + 18*u
als Funktion und schreiben
F(u) = -2*u^3 + 18*u
Um herauszufinden, wann F(u) maximal wird
(unter der Nebenbedingung 0 <= u <= 3),
bilden wir die erste Ableitung
und suchen deren Nullstellen,
die nämlich gleichzeitig Extremstellen
der ursprünglichen Funktion sind.
F(u) = -2*u^3 + 18*u
F'(u) = -6*u^2 + 18
-6*u^2 + 18 = 0 <==>
-6*u^2 = -18 <==>
6*u^2 = 18 <==>
u^2 = 3 <==>
u = +3^(1/2) oder u = -3^(1/2)
Wegen 0 <= u <= 3 gilt daher :
u = 3^(1/2) (Quadrat-Wurzel aus 3)
Damit der Flächeninhalt maximal wird,
muß also folgendes gelten :
u = 3^(1/2) (Quadrat-Wurzel aus 3)
F(u) = 2*u*f(u)
= 2*3^(1/2)*(-((3^(1/2))^2) + 9)
= 2*3^(1/2)*(-3 + 9)
= 2*3^(1/2)*6
= 12*3^(1/2)
Für den Umfang des Rechtecks
gilt folgende Formel :
U = 2*u + 2*f(u)
= 2*(u + f(u))
Für f(u) gilt aber folgende Formel :
f(u) = -u^2 + 9
Einsetzen ergibt :
U = 2*(u + (-u^2 + 9))
= 2*u - 2*u^2 + 18
= -2*u^2 + 2*u + 18
Wir betrachten die Formel
U = -2*u^2 + 2*u + 18
als Funktion und schreiben
U(u) = -2*u^2 + 2*u + 18
Um herauszufinden, wann U(u) maximal wird
(unter der Nebenbedingung 0 <= u <= 3),
bilden wir die erste Ableitung
und suchen deren Nullstellen,
die nämlich gleichzeitig Extremstellen
der ursprünglichen Funktion sind.
U(u) = -2*u^2 + 2*u + 18
U'(u) = -4*u + 2
-4*u + 2 = 0 <==>
-4*u = -2 <==>
4*u = 2 <==>
u = 1/2
Damit der Umfang maximal wird,
muß also folgendes gelten :
u = 1/2
U(u) = 2*(u + f(u))
= 2*(1/2 - (1/2)^2 + 9)
= 2*(1/2 - 1/4 + 9)
= 2*(37/4)
= 37/2
Gruß, Konno
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Judith (elfenlicht)
Neues Mitglied
Benutzername: elfenlicht
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. April, 2002 - 11:01: |
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DANKE! DANKE! DANKE! VIELEN DANK! Du hast mir mein Leben gerettet! DANKE! |
Konno (grafzahl22)
Junior Mitglied
Benutzername: grafzahl22
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. April, 2002 - 22:15: |
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Hallo !
Na ja, es war wohl sicherlich nicht dein Leben, das ich hier gerettet habe,
sondern wohl eher nur deine Hausaufgabe !
Übrigens Sorry :
Ich habe da einen dummen Fehler gemacht :
Bei der Formel für den Umfang des Rechtecks
muß folgendes stehen :
U = 4(!!!)*u + 2*f(u)
Sonst berechnet man nur den Umfang der Hälfte
des Rechtecks, das rechts von der y-Achse liegt.
Leider habe ich mit dieser Formel auch noch weitergerechnet (Ableitung gebildet usw.),
daher mußt du das ganze nochmal
mit der richtigen Formel rechnen
und auf gar keinen Fall nur
mein falsches Endergebnis
mit zwei multiplizieren !!!
Sorry !!!
Gruß, Konno
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