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Ableitung!!!

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Vanessa
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. November, 2000 - 17:07:   Beitrag drucken

Ich komme nicht weiter bei der Ableitung von
f(x)=ln(x+(x²+a²)hoch 1/2)!
Kann mir da jemand helfen?
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Fern
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. November, 2000 - 17:41:   Beitrag drucken

Hallo Vanessa,
f(x)=ln(x+W(x²+a²))
Um leichter zu rechnen: setze
u=W(x²+a²)
u'=[1/(2*W(x²+a²)]*2x = x/u

f(x)=ln(x+u)
f'(x)=[1/(x+u)]*(1+u')= [1/(x+u)*(1+x/u)=
=1/(x+u)+x/(u*(x+u))=
auf gemeinsamen Nenner:
=[u(x+u)+x(x+u)]/[(x+u)²u]=
=1/u = 1/W(x²+a²)
============================
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Holger (Matheholger)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. November, 2000 - 18:02:   Beitrag drucken

Hallo Vanessa!
Hier kommt jemand der dir hilft.
f(x) = ln[x+(x²+a²)1/2]
Wir müssen nach der Kettenregel ableiten und zwar von außen nach innen.

Zuerst der ln
[ln(x)]' = 1/x klar, oder?

Das heißt, das Argument des ln muss in den Nenner.
(Argument ist der Term, von dem du den ln nimmst)
1. Hier ist das Argument ja x+(x²+a²)1/2
Das kommt in den Nenner. (Im Zähler steht 1)
Dies ergibt: 1/[x+(x²+a²)1/2]


2. So jetzt müssen wir die nächstinnere Funktion
ableiten und mit dieser Ableitung den Bruch
von 1. multiplizieren.
Die nächstinnere Funktion hat den Term
x + (x²+a²)1/2

---> x wird zu 1

und für (x²+a²)1/2 muss man wieder die
Kettenregel anwenden, also erst dieses hoch
1/2 ableiten dann nachdifferenzieren.

---> x1/2 wird zu 1/2x-1/2

Statt x haben wir aber hier (x² + a²), was man
noch nachdifferenzieren muss.

---> x² + a² wird zu 2x (a² ist eine
Konstante)

Also ergibt (x²+a²)1/2 abgeleitet
1/2(x²+a²)-1/2*2x

und x + (x²+a²)1/2 abgeleitet
1 + 1/2(x²+a²)-1/2*2x

So jetzt nur noch multiplizieren, das heißt der lange Term kommt in den Zähler des Bruchs von 1. und es ergibt sich:

f'(x) = [1 + 1/2(x²+a²)-1/2*2x]/
[x+(x²+a²)1/2]

Hoffentlich habe ich dir jetzt ein bisschen helfen können.

Viele liebe Grüße von

Holger


abgeleitet: 1 +
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Vanessa
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. November, 2000 - 18:49:   Beitrag drucken

Hi ihr beiden!
Ich habe deine Version schon ein wenig einfacher nachvollziehen können Holger, trotzdem bekomme ich es nicht hin dein Ergebnis auf das von Fern umzuformen: ln(x+W(x²+a²)) soll nämlich eine Stammfkt. von 1/W(x²+a²) sein. Weißt du vielleicht nochmal weiter!
Danke übrigens, für die echt super einfach zu verstehende Aufgabe! Trotzdem dir auch danke Fern, vielleicht kommen ich ja bei dir doch noch dahinter!
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Fern
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. November, 2000 - 20:02:   Beitrag drucken

Hallo Vanessa,
Schreib doch mal auf wo genau du hängen bleibst.
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Holger (Matheholger)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. November, 2000 - 21:10:   Beitrag drucken

Hallo Vanessa und Fern!

Fern hatte eine ganz geniale Idee: Er hat einfach statt Wurzel x W(x) geschrieben und damit eine ganz einfache Umformung produzieren können!

Da ich so viel geschrieben hatte, haben sich unsere Nachrichten vorhin überschnitten.

Ich hatte diese Idee nicht mit dem W.
Also jetzt nochmal meine Version und Ferns Version:

Wenn W(x) Wurzel x ist, dann ist (x² + a²)1/2
W(x²+a²)

Die Ableitung der Wurzelfunktion ist:

f(x)= W(x) = x1/2
f'(x) = 1/2 x-1/2 = 1/[2 x+1/2]=
1/[2 W(x)]

Mit Nachdifferenzieren von x² (--> 2x)ist dann die Ableitung von W(x²+a²):

1/[2 W(x²+a²)] * 2x = 2x/[2 W(x²+a²)] =
x /[W(x²+a²)]

Also ist die Ableitung des Arguments x + W(x²+a²):
1 + x /[W(x²+a²)]

Hauptnenner ist [W(x²+a²)]:

1 + x /[W(x²+a²)] =
[[W(x²+a²)] + x] / [W(x²+a²)]

Also ist dann (wie oben erklärt:

f'(x) = [1/[x+W(x²+a²)]]*
[[W(x²+a²)] + x] / [W(x²+a²)]


und schon kann man den Ausdruck [W(x²+a²)] + x kreuzweise kürzen und erhält das gewünschte Ergebnis.


Mal schaun, ob sich Fern inzwischen gemeldet hat, während ich das hier geschrieben habe.

Viele Grüße an euch beide
Holger

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