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Beitrag |
    
Mendy
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. November, 2000 - 01:08: | 
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Kann mir jemand folgendes beweisen?
n, k Element nat. Zahlen. n>=(grössergleich)2
Die Summe aus k=1 bis n von 1/(n+k) > 13/24.
Bitte helft. Wurde die Frage verstanden? |
anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. November, 2000 - 13:08: |
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hallo mendy.hier ein lösungshinweis:
beweis per vollst. induktion:
IA: n = 2
summe von k=1 bis 2 von 1/(2+k)
= 1/3 + 1/4 = 7/12 = 14/24 > 13/24 (OK)
IV: die beh. gelte für ein n.
IS: n -> n+1
summe von k=1 bis n+1 von 1/(n+1+k)
= 1/(2+n) + 1/(3+n) + ... + 1/(2n+1) + 1/(2n+2)
(addiere und subtrahiere 1/(n+1))
= 1/(n+1) + 1/(n+2)+...+1/(2n)
-1/(n+1) + 1/(2n+1) + 1/(2n+2)
(geeignete zusammenfassung in summe)
= summe von k=1 bis n von 1/(n+k)
+1/(2n+1) + 1/(2n+2) - 1/(n+1)
(verwenden der induktionsvoraussetzung)
>= 13/24 +1/(2n+1) + 1/(2n+2) - 1/(n+1)
>= 13/24 +1/(2n+2) + 1/(2n+2) - 1/(n+1)
= 13/24 +1/(n+1) - 1/(n+1)
= 13/24
damit ist die behauptung für (n+1) gezeigt.
nach dem induktionsprinzip gilt die behauptung für alle n>=2 aus IN.
besten gruss. |
Mendy
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. November, 2000 - 05:56: |
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thanks |
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