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Beitrag |
    
Sandra
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. November, 2000 - 11:48: | 
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Folgendes Problem:
1. Gegeben sind zwei Vektoren a, b, sie sind gleichlang, daher halbiert der Summenvektor a+b den spitzen Winkel zwischen a und b.
2.Die Seiten AB bzw. AC des Dreiecks ABC sind parallel zu a bzw. b (a,b = Vektoren, die gleichlang sind) und dreimal bzw. zweimal so lang.
Beweisen sie nun mittels Vektorrechnung, dass die Winkelhalbierende wa die Seite BC im Verhältnis 3:2 teilt.
Zuerst soll man die folgenden Vektoren durch a und b und evt. mit Hilfe unbekannter Koeffizienten ausdrücken:
a) AB= 3a
b) AC= 2b
c) CB= 3a-2b (stimmt das?)
d) WB=(W= Schnittpunkt von wa mit CB)
e) AW=
Frage: wie drücke ich WB bzw. AW am besten aus damit ich nachher nicht zu viele Koeffizienten habe und wie gehts nachher weiter????????
Vielen vielen Dank im Voraus |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. November, 2000 - 20:33: |
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Hi Sandra,
Deine Aufgabe ist hervorragend dazu geeignet,
den Umgang mit Vektoren zu erlernen
Du bist mit den Vorbereitungen auf dem richtigen Weg,.
und die Sorge, alluzuviele Parameter in die Rechnung
einzubeziehen, ist durchaus berechtigt:
Ich komme mit zwei Parametern s und t aus ,
wie die folgende ( kurze ) Herleitung zeigt
Ich wiederhole
a) Vektor AB = 3 * a , a ist ein Einheitsvektor
b) Vektor AC = 2 * b , b ist ein Einheitsvektor
c) Vektor CB = 3 * a - 2 * b ( richtig !)
d) Ansatz:
Vektor WB = t * CB = t* [3a- 2b]
e) Vektor AW = s * ( a + b ) ;
W liegt auf der Winkelhalbierenden
s und t sind zu bestimmende skalare Konstanten
Jetzt machen wir einen Spaziergang:
Wir durchlaufen die geschlossene Vektorkette
AW + WB + BA; die Summe dieser Vektoren ist gleich
dem Nullvektor o , also gilt:
AW + WB - AB = o (N.B. BA= - AB)
Wir setzen die Werte aus der Vorbereitung ein; es entsteht:
s ( a + b ) 3 a + t ( 3a - 2b) - 3 a = o
Wir lösen die Klammern und ordnen ;es entsteht:
(s + 3t - 3 ) * a + ( s - 2t ) * b = 0 ;
weil die Vektoren a und b linear unabhängig sind,
ist die letzte Vektorgleichung nur möglich, wenn
die beiden Klammerinhalte je null sind
Wir erhalten für s und t die linearen Gleichungen
s + 3t - 3 = 0
s - 2t = 0 mit den Lösungen:
s = 1.2 und t = 0. 6
t = 0.6 sagt : WB = t* CB = 0.6 * CB
Somit teilt W die Seite BC im Verhältnis
0.6 : 0.4 = 3 : 2 q.e.d.
Auffallend ist:
Die Vektoren a und b haben ihre Schuldigkeit getan,
sie können gehen.
(woher stammt dieses abgeänderte Zitat ?)
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Sandra
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. November, 2000 - 10:38: |
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Hi H.R. Moser, megamath..
Erstmal natürlich ein riesengrosses Dankeschön.
Ich hab aber doch noch ein Frage:
Du schreibst AW+WB+BA=Nullvektor, soweit so gut.
Dann setzt du ein:
s(a+b)3a +t(3a-2b)-3a
woher kommen denn die 3a (bei s(a+b))
Wir haben doch definiert: AW=s(a+b)
Und noch etwas, entschuldige bin ein bisschen schwer von Begriff, könntest du mir die Auflösung der Klammern und die Umstellung in jedem einzelnen Schritt erklären. Hab nämlich so meine liebe Mühe mit dem Klammern auflösen wenn da noch Vektoren sind.......
Besten Dank im Voraus
Sandra
....Schiller..... |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. November, 2000 - 13:02: |
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Hi Sandra,
Besten Dank für Deine Anfrage, insbesondere
für die Auflösung des Rätsels mit dem Zitat
Zu meinem Leidwesen enthält meine Lösung
einen Druckfehler, der Dich möglicherweise in
Verwirrung gebracht hat .
Nach dem Absatz " ...es entsteht: " muss es richtig
heissen:
s* (a+b) + t * ( 3a - 2b) - 3a = o ;
ich löse jetzt die Klammern und erinnere daran,
dass s und t skalare Grössen (reelle Zahlen) sind,
a und b jedoch Vektoren.
Auf der rechten Seite steht der Nullvektor.
Es kommt:
s * a + s * b + 3t * a - 2t * b - 3 * a = o .
Wir ordnen, indem wir einerseits die Summanden,
welche mit dem Vektor a verbunden sind ,
andrerseits diejenigen, die mit b verbunden sind,
zusammenfassen und gleich wieder Klammern bilden.
Das Ergebnis dieses Unternehmens lautet:
(s +3t - 3) * a + (s - 2t) * b = o
Jetzt kommt der Höhepunkt:
Wir benützen die Tatsache, dass die Vektoren a und b
nicht kollinear sind , insbesondere, dass sie nicht
parallel sind, sondern die Dreiecksseiten AB und AC
bestimmen, also linear unabhängig sind
Daraus folgt, dass beide Klammern in der letzten Gleichung
null sein müssen
Die Auflösung des Gleichungssystems ist einfach:
setze s = 2 t in die erste Gleichung ein
Deutung des Resultates s = 1.2 , t = 0.6
Aus WB = 0.6 * CB und CW = 0.4 CB folgt sofort
das angegebene Teilverhältnis
WB : CW = 0.6 : 0.4 = 3 . 2
Hoffentlich dienen Dir diese Präzisierungen
Mit den besten Wünschen in diesem Sinn
Hans Rudolf Moser,megamath. |
Sandra
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. November, 2000 - 14:02: |
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Alles klar....:-)
Danke vielmals
Sandra |
Maike_2 (Maike_2)
Junior Mitglied
Benutzername: Maike_2
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Juni, 2004 - 15:09: |
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Hallo,
schreibe bald Abschlussprüfung in Mathe und es kommen Vektorrechnungen dran. Es könnte folgende Aufgabe dran kommen:
Gegeben sind die Gerage g1: x: -2 + sigma 6
-3 3
Das -2 und -3 sollte untereinander stehen, und eine Klammer haben ebenso 6 und 3 geht irgendwie nicht an meinem PC!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
sowie die Grade g2 durch die Punkte A(1/-0,5) und B (4/-2)
1.1 Bestimmen Sie eine Geradengleichung der Geraden g2 in vektorieller Parameterform min dem Parameter lambda
1.2 Die grade g3 ist parallel zu g1 und verläuft durch den Punkt B. Geben Sie eine Geradengleichung der Geraden g3 in vektorieller Parameterform an.
1.3 Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Geraden g1 an.
Wäre sehr dankbar für eine genaue Erklärung, habe nämlich keine Ahnung.
Gruß
Maike  |
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