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Mathegott
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. November, 2000 - 09:09: | 
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Gegeben sei ein gleichschenkliges Dreieck mit der Grundlinie c und der Höhe h. In dieses Dreieck ist ein gleichschenkliges Dreieck so einzuzeichnen, dass dessen Spitze im Mittelpunkt der Grundseite c liegt. Der Flächeninhalt des Dreiecks soll ein Maximum annehmen. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. November, 2000 - 14:57: |
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Hi Mathegott!
Für die Rechnung definiere ich mir jetzt ein Koordinatensystem: Und zwar liegt die Grundlinie des äußeren Dreiecks auf der x-Achse, die Höhe h auf der y-Achse.
Das äußere Dreieck hat demnach folgende Eckpunkte:
(-c/2 | 0) ; (c/2 | 0) ; (h | 0)
Soviel zur Orientierung.
Nun betrachten wir uns nur den ersten Quadranten dieses Koordinatensystems, d.h. nur die Seite des äußeren Dreiecks durch die Punkte (c/2 | 0) ; (h | 0).
Diese Seite hat demnach die Gleichung
y=f(x)= -2h/c *x +h.
Das gesuchte innere Dreieck liegt nun zur Hälfte im 1. und zur Hälfte im 2.Quadrant. Wir brauchen uns aber -aus Symmetrie-Gründen- nur um den 1.Quadrant zu kümmern.
Der Teil des inneren Dreiecks im 1.Quadrant hat die Eckpunkte (0|0), (p|f(p)), (0|f(p)). (f ist die oben genannte Geradenfunktion)
Die Fläche dieses Dreiecks ist nun
A(p) = inneres Dreieck
= 2* Teil im 1.Quadrant
= 2 * 1/2*Grundseite *Höhe
= 2 * 1/2 *p*f(p)
= 2 * 1/2 *p*( -2h/c *p +h)
=-2h/c*p²+hp
Diese Funktion muss nun maximiert werden:
A'(p)=-4h/c*p+h
0=-4h/c*p+h => 4h/c*p=h => pmax=c/4
Dei zweite Ableitung lautet:
A''(p)=-4h/c < 0
Also ist pmax=c/4 ein Maximum der Ausgangsfunktion.
ANTWORT: Der Flächeninhalt des inneren Dreieck ist maximal, wenn dessen Grundseite den Wert 2*pmax=c/2 hat, und dessen Höhe den Wert
f(pmax)=-2h/c *pmax +h
=-2h/c *c/4 +h = h/2 hat.
Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen.
Ciao
Cosine |
Mathegott
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. November, 2000 - 17:34: |
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Vielen Dank, Cosine! |
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