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Beitrag |
    
markus
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. November, 2000 - 00:12: | 
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eine zur y-achse symmetrische parabel geht durch S=(0;9) und durch A=(6;0). wie lautet ihre gleichung?
dem parabelsegment, das durch die x-achse abgegrenzt wird, ist das trapez mit der größten fläche einzuschreiben.
berechnen sie das verhältnis des flächeninhalts des parabelsegments und des flächeninhalts dieses trapezes!
kann mir da bitte wieder mal wer helfen? mille grazie. |
Carlo Hartmann (Nabla)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. November, 2000 - 11:56: |
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Zu Frage 1:
Die Parabel ist symmetrisch, es gilt also:
p(x)=p(-x) ->
ax^2+bx+c=a(-x)^2+b(-x)+c ->
bx=-bx ->
2bx=0 ->
b=0
p(0)=9: c=9
p(6)=0: 36a+c=0 -> 36a=-9 -> a=-1/4
Für die Gleichung der Parabel gilt also:
p(x)=-1/4x^2+9 |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. November, 2000 - 12:21: |
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Hi Markus,
A]
Aus Symmetriegründen lautet die Gleichung der Parabel
im Ansatz so:
y = a x ^ 2 + c
S ( 0 / 9 ) ist der Scheitel der Parabel , der Punkt A( 6 / 0 )
der eine Schnittpunkt der Parabel mit der x-Achse.
Setzt man die Koordinaten dieser Punkte in den Ansatz ein,
so erhält man sofort c = 9 und a = - 1 / 4.
Die Parabelgleichung lautet :y = - 1 / 4 * x ^ 2 + 9.
B]
Der zweite Schnittpunkt der Parabel mit der x-Achse ist
B( -6 / 0 )
AB ist die (feste) Grundlinie des Trapezes.
Sei P(u /v ) ein Punkt des im ersten Quadranten liegenden
Parabelbogen ; es gilt u > 0 , v > 0
Die Koordinaten u ,v erfüllen die Parabelgleichung:
v = - 1 / 4 * u ^ 2 + 9......................................................( Gl I )
Wir spiegeln P an der y-Achse und erhalten den Bildpunkt
Q (-u / v) , der ebenfalls auf der Parabel liegt
Wir wählen die Strecke PQ als Decklinie des eingeschriebenen
Trapezes ,dessen Flächeninhalt F maximal werden soll.
C]
Die beiden parallelen Seiten des Trapezes AB und PQ messen
AB = 12 , PQ = 2 * u, die Höhe ist v , somit
F = ½ * (12 + 2u) * v = 6*v + u * v;
Wir ersetzen v gemäss (Gl I) und erhalten F als Funktion
von u allein:
F = F ( u ) = - 3 / 2 * u ^ 2 + 54 - ¼* u ^ 3 + 9 u
Jetzt leiten wir nach u ab (erste und zweite Ableitung)
F ' ( u ) = - 3 * u - ¾* u ^ 2 + 9 ; F''(u) = - 3 - 3/2 * u
Ermittlung der Nullstellen von F' aus der quadratischen
Gleichung in u:
u ^ 2 + 4 * u - 12 = 0 ; Lösungen u1= 2, u2 = - 6
Da u ausdrücklich positiv vorausgesetzt wurde , fällt
die negative Lösung u2 weg; es bleibt u = u1 = 2
Die zweite Ableitung ist negativ, somit liegt
ein Maximum vor.
D]
Aus u = 2 folgt nach ( Gl I ): v = 8 und schliesslich
F = 6*v + u*v = 48 + 16 = 64
Das Parabelsegment besitzt die Flache
FS =2/3 * g * h = 2/3*12*9 = 72
g bedeutet die "Grundlinie", h die Höhe des
Parabelsegmentes.
Sollte die verwendete Formel nicht bekannt sein,
muss man zur Strafe die Fläche FS mit einem Integral
berechnen !
Der Quotient beider Flächen ist: Q = FS / F = 72 / 64 = 9/8.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
markus
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. November, 2000 - 22:57: |
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ich bin beeindruckt! also auf das wär ich alleine nie gekommen und will hunting heisse ich leider auch nicht. wenn ich sowas ende jänner zur prüfung bekomm, werd ich vermutlich durchfallen - länge x breite. trotzdem danke nochmal. |
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