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Leonie
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 16:21: | 
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Hey Leute! Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?
1) Untersuche die Funktion f(x)= x²-kx³
2) Zeige, dass die Wendepunkte aller Funktionen f auf einer Parabel liegen.
Vielen, vielen Dank im voraus!! |
Clemens
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. November, 2000 - 07:58: |
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Hallo Leonie!
Zuerst bildest Du die ersten beiden Ableitungen der Funktion:
f(x) = x² - kx³
f'(x) = 2x - 3kx²
f''(x) = 2 - 6kx
Wenn Du f(x) nullsetzt, erhältst du die Nullstellen:
x² - kx³ = 0
x²(1 - k) = 0 => x1=x2=0 und x3=1/k
Beim Nullsetzen von f'(x) erhältst Du die Extremstellen:
2x - 3kx² = 0
x(2 - 3k) = 0 => x1=0 und x3=2/(3k)
Einsetzen dieser x-Werte in f(x) ergibt die y-Koordinaten der Extrempunkte
E1(0 ; 0) und E2(2/(3k) ; 4/(27k²))
Beim Nullsetzen von f''(x) erhältst Du die Wendestellen:
2 - 6kx = 0 => x=1/(3k)
Einsetzen des Werts in f(x) ergibt wieder die y-Koordinate:
W(1/(3k) ; 2/(27k²))
Die Parabel, auf der alle Wendepunkte dieser Kurvenschar liegen, setzt Du allgemein an mit
y = px²
Für y und x setzt Du die Wendepunktskoordinaten ein:
2/(27k²) = p(1/(3k))²
und Du erhältst, nachdem Du das ein bißchen vereinfacht hast, für p=2/3.
Und damit heißt die Parabel
y = (2/3)x²
Liebe Grüße
Clemens |
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