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Michi
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 13:18: | 
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Hi!
Ich habe ziemlich große Probleme mit folgendem Beispiel. Könnte mir bitte jemand dabei helfen?
Die Nachfrage q nach einem bestimmten Gut in Abhängigkeit vom Preis p sei durch die Funktion
q = e^(-0,002*p)
gegeben. Bestimme jenen Preis p, für den der Umsatz q*p maximal wird, und weise nach, dass tatsächlich ein lokales Maximum vorliegt.
Vielen Dank im voraus,
Michi |
Clemens
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 17:17: |
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Hallo Michi!
Der Umsatz U = q*p ist
U(p) = p*e^(-0,002p)
Differenzieren mit Produktregel:
U'(p) = e^(-0,002p) + p*e^(-0,002p)*(-0,002) = (1 - 0,002p)*e^(1-0,002p)
nochmals Differenzieren mit Produktregel ergibt:
U''(p) = -0,002*e^(-0,002p)*(2 - 0,002p)
Die lokalen Maxima und Minima erhältst Du durch Nullsetzen der ersten Ableitung:
(1 - 0,002p) * e^(-0,002p) = 0
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Die e-Potenz kann nicht Null werden, und Nullsetzen der ersten Klammer ergibt p = 500.
Um festzustellen, ob es sich um ein lokales Maximum oder um ein lokales Minimum handelt, setzt Du den Wert in die 2. Ableitung ein. Kommt dabei etwas Positives raus, handelt es sich um ein Minimum, kommt dabei etwas Negatives raus, handelt es sich um ein Maximum.
Also:
U''(500) = -0,002*e^(-1)*1 < 0 => lokales Maximum
Viele Grüße
Clemens |
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