| Autor |
Beitrag |
    
Helly
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. August, 1999 - 11:51: | 
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So jetzt mal ne aufgabe für spezis:
das lineare Differentialgleichungssystem
.
x = -5x +13y + 5z
.
y = - x + y - z
.
z = y
hat eine Fundamentallösung
( x(t) ) [( 1) (6) ]
x(t)= ( y(t) )= e^(-t) [(-1)cos (2t)-(2)sin(t)]
( z(t) ) [( 1) (0) ]
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des
Differentialgleichungssystems |
helly
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. August, 1999 - 12:07: |
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------( x(t) )--------- [( 1)--------- (6)------]
x(t)=( y(t) )= e^(-t)-[(-1)cos (2t)-(2)sin(t)]
------( z(t) )--------- [( 1)--------- (0)------] |
helly
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. August, 1999 - 12:20: |
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*****( x(t) )********[( 1)*********(6)******]
x(t) =( y(t) ) = e^(-t) [(-1) cos (2t) - (2)sin(t) ]
*****( z(t) )********[( 1)*********(0)******] |
Ilhan
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. August, 1999 - 22:12: |
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Hi,
ich nehme an, daß Du die mathematischen Grundlagen
dazu kennengelernt hast. Also:
1- Man schreibt das
DGL-System in Matrix-Form auf:
u´ = A * u
u´ = Vektor ( x´ , y´ , z´ )
u = Vektor ( x , y , z )
A = Matrix [ -5 13 5
-1 1 -1
0 1 0 ]
2- Man berechnet die Eigenwerte von A
EigenwertPolynom = Determinante[A-µI] = 0
A ist die oben angegebene Systemmatrix
µ ist die verwendete Variable für die
Eigenwerte
I ist die Einheitsmatrix
Für diese Aufgabe ergibt sich:
Determinante[A-µI] = -µ^3 - 4µ^2 - 9µ - 10
Dieses Polynom = 0 setzen liefert die
Eigenwerte des Systems :
µ1=-2
µ2=-1-2i , i= Imaginäre Einheit
µ3=-1+2i
3- Man berechnet zu jedem Eigenwert den
Eigenvektor der Matrix A
(Das ist einfach nur Fleißarbeit)
Man versucht ein Vektor
v=(v1,v2,v3) ungleich (0,0,0) so zu
bestimmen, daß die Gleichung:
(A-µI)*v = (0,0,0) erfüllt wird.
Für den ersten Eigenwert µ=-2 bekommt man
für v3 = 1 :
v= c1*(-5,2,1)
damit ist
u1 = c1*e^(-2t)*Eigenvektor(-5,2,1)
eine Lösung des DGL-Systems
4- Man berechnet den Eigenvektor für µ = -1-2i
......
......
......
Ich habe (ohne Gewähr) als Eigenvektor
v = [ (-1+7i) , (-1,2i) , 1 ] berechnet
etwas sortiert geschrieben ergibt sich
v = [(-1,-1,1) +i(7,2,0)]
v = [Vr+Vi]
Vr=Realteil des Eigenvektors
Vi=Imaginärteil des Eigenvektors
als Eigenvektor.
Für komplexe Eigenwerte gilt als Ansatz :
(Siehe "schlaue" Mathebücher)
u2 = e^(-1*t)*(Vr*Cos[2t]-Vi*Sin[2t]
u3 = e^(-1*t)*(Vr*Sin[2t]+Vi*Cos[2t]
(Sieht Deiner Fundamentallösung schon ziemlich
ähnlich aus )
Das sieht komplizierter aus als es ist.
Der Ansatz ist eigentlich wie bei Punkt 3
für k*e^(a+i*b)*t gilt nämlich
e^(a+i*b)=k*e^(at)*(Cos[b]+i*Sin[b])
5- Jetzt "nur noch" die Teillösungen
u1 , u2, u3 vereinfachen und addieren
(Jede linearkombination der Teillösungen
ist wieder eine Lösung des Systems)
u(t) = u1(t) + u2(t) + u3(t)
==> Gesamtlösung des DGL-Systems
6- Die Randwerte Einsetzen um die Konstanten
c1,c2,c3 zu Berechnen.
==> FERTIG
Die gesamte Berechnung habe ich mir gespart,
weil es einfach nur Zeitintensiv ist.
Ich hoffe Du kannst mit dem Lösungsweg
etwas anfangen.
Mit Hilfe der Laplace-Transformation kann man
solche DGL-Systeme auch lösen (ist eleganter!).
Falls Du mehr Infos zu diesem Lösungsweg brauchst,
dann schreibe mir doch einfach mal ein eMail
viel Spaß
Ilhan |
Patrick
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. März, 2000 - 18:11: |
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Hilfe! Habe eine wichtige frage: was ist los, wenn bei der lösung des gleichungssystems zur bestimmung der eigenvektoren nur eine triviale lösung (also x, y, z = 0) herauskommt? Handelt es sich um einen Eigenvektor des Eigenwerts? Wenn nein, wie bestimme ich den zum Eigenwert gehörigen Eigenvektor? BITTE ANTWORTET! Danke! |
Ingo
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. März, 2000 - 21:54: |
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Kann so nicht sein,denn ein Eigenraum hat immer mindestens einen Eigenvektor¹0
Folglich hast Du den falschen Ansatz gemacht,oder Dich verrechnet. |
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