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HORN
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. November, 2000 - 23:08: | 
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Wer sehr in Mathe und Helfen interessiert ist, für den ist dieser Hilfeschrei genau das Richtige.
Es könnte etwas länger dauern.
Also los.
Die Funktionsschar lautet:
fa(x)=xe^ax ; a > 0
Die ersten drei Ableitungen:
fa'(x) =(1+ax)e^ax
fa''(x) =(a^2x+2a)e^ax
fa'''(x) =(a^3x+3a^2)e^ax
Nullstelle ist nur eine bei P0(0;0).
Extrempunkt ist bei Pext(-1/a ; -1/a*e^-1)
(es handelt sich um einen Tiefpunkt)
Wendepunkt ist bei Pwp(-2/a ; -2/a*e^-2)
Bei negativen x-Werten verhält sich der Graph der Funktion konvergent gegen 0.
Bei positiven x-Werten divergent gegen oo (unendlich).
NUN MEIN PROBLEM:
WIE KANN ICH DIE GLEICHUNG FÜR DIE ORTSKURVEN DER EXTREMA UND WENDEPUNKTE BERECHNEN? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 22:18: |
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Hi Jessica ,
Endlich kommt jemand dazu, sich Deinen Fragen zu widmen
Teil (I)
Die erste Ableitung der Funktion f(x) ist:
f '(x) = e ^ (ax) * [a*x + 1] mit der Nullstelle
x = xo = - 1 / a ....................................................(1)
Wie man mit Hilfe der zweiten Ableitung
(siehe unter (II))
feststellt , liegt ein Minimum vor für alle a-Werte.
Den zu xo gehörigen y -Wert erhält man durch Einsetzen
des Wertes für xo in die Funktionsgleichung:
y = yo = - 1 / a * e ^ (-1)....................................... (2)
Um die Ortskurve dieser Tiefpunkte zu finden,
eliminieren wir aus (1) und (2) den Parameter a
Wir erhalten die lineare Gleichung in xo:
yo = e^(-1) * xo oder ohne Indizes: y = e^(-1) * x.
Dies ist eine Ursprungsgerade mit der Steigung e ^(-1)
Achtung : wegen der Voraussetzung a > 0 liegen
die fraglichen Punkte auf der Halbgeraden
( ohne Nullpunkt ), die ganz im dritten Quadrant
liegt, denn(1) und (2) besagen doch,
dass x<0 und y<0 gilt
Teil(II)
Die zweite Ableitung der Funktion f(x) ist:
f '' (x) = a * e ^ (ax) * [ a * x + 2 ] mit der Nullstelle:
x = xw = - 2 / a als x-Wert für Wendepunkte;
daraus ergibt sich yw = - 2 / a * e ^ (-2).
Eliminiert man a , so erhält man wiederum
die Gleichung einer Ursprungsgeraden
y= e^ (-2)* x
Auch hier zählt nur die Halbgerade im 3.Quadrant.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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