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Beitrag |
    
hallo (Nixnutz)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 21:38: | 
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Diese Aufgabe kapier ich nicht. Soo schwer sieht sie gar nicht aus, aber für die Anfänge der vollst. Induktion hat sie es in sich. |
schubi
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 23:42: |
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Hi hallo,
S(n)=1/2+1/6+1/12+...+1/n(n+1) ; dient nur der kürzeren
Schreibweise
1.Für den Induktionsanfang setzen wir n=1
1/1*(1+1)=1/(1+1)=1/2 => für n=1 stimmt die Gleichung also.
2. Folgerung von n auf n+1
Das heißt wir nehmen an das die Formel für n stimmt und
versuchen zu beweisen das sie auch für n+1 stimmt
n=n+1
<color><param>0000,0000,0000</param>1/2+1/6+1/12+...+1/n(n+1)+1/(n+1)(n+1+1) = (n+1)/ (n+1+1)
</color>=> <bold><color><param>0000,7F00,0000</param>s(n)</bold></color>+<bold><color><param>FF00,0000,0000</param>(1/(n+1)(n+1+1))</bold></color>=<bold><color><param>0000,7F00,0000</param>(n)/ (n+1)</bold></color>+<bold><color><param>FF00,0000,0000</param>(1/(n+1)(n+1+1))</bold></color>
jetzt müssen wir nur noch zeigen
(n)/ (n+1)+(1/(n+1)(n+1+1))=<color><param>0000,0000,FF00</param>(n+1)/(n+1+1)</color> ;<color><param>0000,0000,FF00</param>auf der rechten Seite
habe ich n+1
eingesetzt</color>
=>n(n+2)/((n+1)(n+2))+(1/(n+1)(n+1+1))=<color><param>0000,0000,0000</param>(n+1)/(n+2)</color>
(n^2+2n+1)/((n+1)(n+2))=(n+1)/(n+2)
(n+1)^2/((n+1)(n+2))=(n+1)/(n+2)
(n+1)/(n+2)=(n+1)/(n+2)
q.e.d.
Tschau Leichsi |
Leichsi (Leichsi)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. November, 2000 - 21:20: |
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Hi hallo,
leider ist bei der letzten Nahricht einiges schiefgegangen deswegen
hier nochmal die unformatierte Version.
S(n)=1/2+1/6+1/12+...+1/n(n+1) ; dient nur der kürzeren
Schreibweise
1.Für den Induktionsanfang setzen wir n=1
1/1*(1+1)=1/(1+1)=1/2 => für n=1 stimmt die Gleichung also.
2. Folgerung von n auf n+1
Das heißt wir nehmen an das die Formel für n stimmt und
versuchen zu beweisen das sie auch für n+1 stimmt
n=n+1
1/2+1/6+1/12+...+1/n(n+1)+1/((n+1)(n+1+1)) = (n+1)/ (n+1+1)
=>s(n)+1/((n+1)(n+1+1))=(n)/ (n+1)(1/(n+1)(n+1+1))
jetzt müssen wir nur noch zeigen
(n)/(n+1)+1/((n+1)(n+1+1))=(n+1)/(n+1+1) ;auf der rechten Seite habe ich n+1 in die Formel eingesetzt
=>n(n+2)/((n+1)(n+2))+1/((n+1)(n+1+1))=(n+1)/(n+2)
(n^2+2n+1)/((n+1)(n+2))=(n+1)/(n+2)
(n+1)^2/((n+1)(n+2))=(n+1)/(n+2)
(n+1)/(n+2)=(n+1)/(n+2)
q.e.d.
Tschau Leichsi |
hallo (Nixnutz)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. November, 2000 - 17:44: |
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genial, dass die aufgabe tatsächlich lösbar ist.
bin ich so dumm oder du so schlau? ( die lösung habe ich zum glück verstanden) |
hallo (Nixnutz)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. November, 2000 - 22:03: |
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Nein, nein. Die Aufgabe ist entweder doch nicht richtig oder ich kann sie doch noch nicht richtig nachvollziehen.
Wie wird denn bitte aus 1/(n(n+1))
daraus wird irgendwie n/(n+1)
und das kann doch nicht richtig sein.
Und die Erklärung s(n)..., bei der aus einer Addition eine Multiplikation wird,ist für mich total unverständlich.
Hilfe kann mir noch jemand helfen? |
Leichsi (Leichsi)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. November, 2000 - 13:22: |
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Nach deiner Formel kann man n/(n+1)=s(n) setzen da s(n) ja für
1/2+1/6+1/12+...+1/n(n+1) steht.
Der Trick bei der vollständigen Induktion ist ja ,dass wir
s(n+1)=1/2+1/6+1/12+...+1/n(n+1)+1/((n+1)(n+1+1))
auf s(n) zurückführen indem wir zu s(n) einfach 1/((n+1)(n+1+1))
(ich habe in 1/n(n+1) n=n+1 eingesetzt) hinzuaddieren, das heißt
s(n+1)=s(n)+1/((n+1)(n+1+1))
Da s(n)=n/(n+1), da 1/2+1/6+1/12+...+1/n(n+1) = n/ (n+1),können
wir dort dasselbe machen wie oben, nämlich 1/((n+1)(n+1+1))
addieren. Daraus folgt
s(n+1)=n/(n+1)+1/((n+1)(n+1+1))=s(n)+1/((n+1)(n+1+1))
Um jetzt zu beweisen, dass die Formel stimmt müssen wir zeigen
das die Formel n/(n+1)+1/((n+1)(n+1+1)) genau dasselbe ist wie
(n+1)/(n+1+1), also wenn ich in n/(n+1) n=n+1 einsetze.
=>n/(n+1)+1/((n+1)(n+1+1))=(n+1)/(n+1+1) soll gleich sein damit
die Behauptung war ist, was ich in der letzten Nachricht ja schon
gezeigt habe.
Ich hoffe das erklärt deine Fragen.
Tschau Leichsi |
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