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Anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. August, 1999 - 12:22: | 
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Wie kann ich zeigen, daß es für eine auf [a,b] differenzierbare Funktion g mit g'(a)*g'(b)<0 ein c in (a,b) mit g'(c)=0 gibt? |
Basti
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. August, 1999 - 13:37: |
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Okay, die Idee ist folgende:
g'(a)*g'(b)<0 heißt das eines negativ und das andere positiv ist.
O.B.d.A. sei g'(a)<0 und g'(b)>0. (sonst analog mit Maximum)
Von der Vorstellung her klar: Wenn der Graph am Anfang (bei a) fällt und am Ende (bei b) steigt, dann liegt dazwischen irgendwo ein Minimum c und da ist ja dann f'(c)=0.
Mathematisch korrekt läuft das ganze etwa so:
g differenzierbar, also stetig auf [a,b] => g nimmt sein Minimum bei einem c aus [a,b] an.
Jetzt müssen wir zeigen, daß c weder a noch b ist.
Es ist: 0>g'(a)=limh->0+(g(a+h)-g(a))/h, also existiert e>0 mit g(a+h)<g(a) für alle h<e,
insbesondere ist also g(a) nicht das Minimum.
Genauso zeigt man, daß g(b) nicht das Minimum ist, also liegt dann c in ]a,b[ und f'(c)=0.
(Den Beweis, daß bei einem Minimum, das nicht am Rand liegt, die Ableitung Null ist, spare ich mir.)
Hoffe, das war halbwegs verständlich... |
Tom
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. August, 1999 - 18:36: |
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Vielleicht ein wenig zu trocken:
Laut Zwischenwertsatz gilt, daß die
Funktion g':I->R, x |->g'(x) im Intervall [a,b] eine
Nullstelle haben muß, falls g' stetig auf [a,b] ist.
Ein stetiger Graph mit Anfang in der unteren Halbebene ({(x,y) in R^2:y<=0}) von R^2 und Ende in der oberen Halbebene= R^2\untere Halbebene muß innerhalb des Intevalls die
x-Achse schneiden, also für ein c in [a,b] = 0 sein. Dies ist natürlich kein Beweis, aber vielleicht anschaulicher. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. August, 1999 - 22:59: |
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So wie ich das sehe, ist der Beweis von Basti optimal. Diese Aufgabe entstammt bestimmt keiner Hausaufgabe; tippe da eher auf Analysis I, Universität. Das besondere ist ja gerade, daß g' nicht stetig sein muß.
Die Aufgabe ist anscheinend die direkte Vorstufe zum Zwischenwertsatz für Ableitungen, so wie der Satz von Rolle zum MWS der Differentialrechnung führt. In beiden Fällen basiert der Beweis auf der Tatsache, daß stetige reellwertige Funktionen auf kompakten Mengen ihr Supremum und Infimum annehmen
(hier werden wegen g'(a)*g'(b)<0 das Maximum oder das Minimum nicht auf dem Rand angenommen, d.h. es gibt mindestens eine Extremstelle im Innern; bei Rolles Satz werden wegen g(a)=g(b) das Maximum und Minimum genau dann (gleichzeitig) auf dem Rand angenommen , wenn g konstant ist; dann sind aber auch alle inneren Punkt Extremstellen ),
wobei die Randbedingungen dafür sorgen, daß mindestens eine Extremstelle im Innern des Intervalls liegt, so daß dort die Ableitung verschwinden muß.
Ganz ähnlich wie bei 'Rolles Satz/MWS der Diff'rechnung' führt auch hier eine Hilfsfunktion der Form
f(x):=g(x)-rx
direkt zum ZWS für Ableitungen. |
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