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Beitrag |
    
Ulrike Barth (Rieke)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. November, 2000 - 18:05: | 
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Kann mir einer helfen?
Induktionsbeweis von:
Vor: f(x)= 1/x
Beh.: f^n(x)= ((-1)^n *n!)/x^n*x |
Steffi
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. November, 2000 - 18:46: |
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Hallo Ulrike,
hier der Induktionsbeweis:
Ind.-Voraussetzung: f(x) = 1/x = x^(-1)
Ind.-Ansatz: n=1
Es gilt: f'(x) = (-1)x^(-2)
= (-1)^1 * 1! * x^(-(1+1))
= [(-1)^1 * 1!] / x^(1+1)
= [(-1)^1 * 1!] / [x^1 * x]
Ind.-Annahme: Es gelte für ein n aus N
f^n(x) = [(-1)^n * n!] / [x^n * x]
Ind.-Schritt: n -> (n+1)
d.h. zu zeigen: f^(n+1)(x) = [(-1)^(n+1) * (n+1)!]/[x^(n+1) * x]
Es gilt:
f^(n+1)(x) = {f^n(x)}'
= {[(-1)^n * n!]/[x^n * x]}' nach Ind.-Ann.
= {[(-1)^n * n!]/[x^(n+1)]}'
= {(-1)^n * n! * x^(-(n+1))}'
= (-1)^n * n! * (-(n+1) * x^(-(n+1)-1)
= (-1)^n * n! * (-1) * (n+1) * x^(-(n+2))
= (-1)^(n+1) * (n+1)! * x^(-(n+2))
= [(-1)^(n+1) * (n+1)!]/ x^(n+2)
= [(-1)^(n+1) + (n+1)!]/[ x^(n+1) * x]
q.e.d.
Ich hoffe, Du hast alles verstanden.
Gruß,
Steffi. |
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